Cho tam giác đều $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có đường cao $AH=5x$. Lấy $O$ là điểm trên $AH$ sao cho $AO=x$, $SO\perp mp(P)$ và $SO=2x$.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a. Chứng minh rằng tam giác $SAC$ vuông
Trong $\Delta SAO$ vuông tại $O$, tính được $SA=x\sqrt{5}$ (1)Có $\Delta ABC$ đều, đường cao $AH=x\Rightarrow AB=AC=BC=\frac{10\sqrt{3}x}{3}$ (2)Trong $\Delta OHC$ vuông tại $H$, tính được $OC=\frac{\sqrt{219}x}{3}$Trong $\Delta SOC$ vuông tại $O$, có số đo $SO$ và $OC$, tính được $SC=\frac{\sqrt{255}x}{3}$ (3)Từ (1); (2); (3), áp dụng định lý $Pitago$ đảo, chứng minh được $SC\perp SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b. Dựng hình bình hành $ABCD$. Chứng minh $mp(SAD)\perp mp(SAH)$.
Trong hình bình hành $ABCD$:$\left\{\begin{matrix} AD//BC\\ AH\perp BC \end{matrix}\right.$$\Rightarrow AH\perp AD$Mặt khác:$\left\{\begin{matrix} (ABC)\subset(ABCD) \\ SO\perp (ABC) \end{matrix}\right.$$\left\{\begin{matrix} AD//BC\\ AH\perp BC \end{matrix}\right.$$\Rightarrow AH\perp AD$ (3)Mặt khác:$\left\{\begin{matrix} (ABC)\subset(ABCD) \\ SO\perp (ABC) \end{matrix}\right.$$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$$\Rightarrow SO\perp AD$ (4)$(3);(4)\Rightarrow (SAD)\perp (SAH)$-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c. gọi $I$ là trung điểm $OH$ và $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$,$(SBC)$. Chứng minh rằng $d\perp SI$
Xét $(SAD)$ và $(SBC)$ có $S$ chung và $AD//BC$$\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=d$ qua $S$ và $d//AD//BC$Trong $\Delta OHB$ vuông tại $H$, tính được $OB=\frac{\sqrt{219}x}{3}$Trong $\Delta OSB$ vuông tại $O$, tính được $SB=\frac{x\sqrt{255}}{3}$Từ đó, ta có $SB=SC$, mà $H$ trung điểm $BC$ $\Rightarrow SH\perp BC$Vì: $\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ d//BC \end{matrix}\right.$$\Rightarrow d\perp SH$ (5)Ta lại có:$\left\{\begin{matrix} SO\perp AD\\ d//AD \end{matrix}\right.$$\Rightarrow d\perp SO$ (6)Từ $(5);(6)$ $\Rightarrow d\perp (SOH)$$\Rightarrow d\perp SI$