Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $(SAC)$ vuông và một số tính chất hình học

- - - - - hình học không gian hình học giải nhanh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoangkhtn2010

hoangkhtn2010

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Cho tam giác đều $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có đường cao $AH=5x$. Lấy $O$ là điểm trên $AH$ sao cho $AO=x$, $SO\perp mp(P)$ và $SO=2x$.
a. Chứng minh rằng tam giác $SAC$ vuông
b. Dựng hình bình hành $ABCD$. Chứng minh $mp(SAD)\perp mp(SAH)$.
c. gọi $I$ là trung điểm $OH$ và $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$,$(SBC)$. Chứng minh rằng $d\perp SI$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkhtn2010: 22-03-2012 - 17:10

Trượt đội tuyển thì năm sau thi tiếp :D

#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Cho tam giác đều $ABC$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ có đường cao $AH=5x$. Lấy $O$ là điểm trên $AH$ sao cho $AO=x$, $SO\perp mp(P)$ và $SO=2x$.


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


a. Chứng minh rằng tam giác $SAC$ vuông




Trong $\Delta SAO$ vuông tại $O$, tính được $SA=x\sqrt{5}$ (1)

Có $\Delta ABC$ đều, đường cao $AH=x\Rightarrow AB=AC=BC=\frac{10\sqrt{3}x}{3}$ (2)

Trong $\Delta OHC$ vuông tại $H$, tính được $OC=\frac{\sqrt{219}x}{3}$

Trong $\Delta SOC$ vuông tại $O$, có số đo $SO$ và $OC$, tính được $SC=\frac{\sqrt{255}x}{3}$ (3)

Từ (1); (2); (3), áp dụng định lý $Pitago$ đảo, chứng minh được $SC\perp SA\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S$


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


b. Dựng hình bình hành $ABCD$. Chứng minh $mp(SAD)\perp mp(SAH)$.



Trong hình bình hành $ABCD$:

$\left\{\begin{matrix} AD//BC\\ AH\perp BC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AH\perp AD$

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} (ABC)\subset(ABCD) \\ SO\perp (ABC) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} AD//BC\\ AH\perp BC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow AH\perp AD$ (3)

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} (ABC)\subset(ABCD) \\ SO\perp (ABC) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SO\perp AD$ (4)

$(3);(4)\Rightarrow (SAD)\perp (SAH)$


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


c. gọi $I$ là trung điểm $OH$ và $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$,$(SBC)$. Chứng minh rằng $d\perp SI$


Xét $(SAD)$ và $(SBC)$ có $S$ chung và $AD//BC$

$\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=d$ qua $S$ và $d//AD//BC$


Trong $\Delta OHB$ vuông tại $H$, tính được $OB=\frac{\sqrt{219}x}{3}$

Trong $\Delta OSB$ vuông tại $O$, tính được $SB=\frac{x\sqrt{255}}{3}$

Từ đó, ta có $SB=SC$, mà $H$ trung điểm $BC$ $\Rightarrow SH\perp BC$

Vì: $\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ d//BC \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow d\perp SH$ (5)

Ta lại có:

$\left\{\begin{matrix} SO\perp AD\\ d//AD \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow d\perp SO$ (6)

Từ $(5);(6)$ $\Rightarrow d\perp (SOH)$

$\Rightarrow d\perp SI$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học không gian, hình học, giải nhanh

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh