Chủ đề này có 2 trả lời

[Tham Lang]

Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$

[chanhquocnghiem]

Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$ . Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn :
$$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$

Đặt :

$1999y+2000z=a$ (1)

$1999z+2000x=b$ (2)

$1999x+2000y=c$ (3)

($a,b,c> 0$)

(1) $\Rightarrow z=\frac{a-1999y}{2000}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2000x+\frac{1999(a-1999y)}{2000}=b\\1999x+2000y=c \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=\frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{1999^3+2000^3}$

Hoàn toàn tương tự, ta có : $y=\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{1999^3+2000^3}$ ; $z=\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{1999^3+2000^3}$

$\Rightarrow \frac{x}{1999y+2000z}+\frac{y}{1999z+2000x}+\frac{z}{1999x+2000y}$

$=\frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( \frac{2000^2b-1999.2000a+1999^2c}{a}+\frac{2000^2c-1999.2000b+1999^2a}{b}+\frac{2000^2a-1999.2000c+1999^2b}{c} \right )$

$= \frac{1}{1999^3+2000^3}\left [ 2000^2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )+1999^2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \right )-1999.2000.3 \right ]$

$\geqslant \frac{1}{1999^3+2000^3}\left ( 2000^2.3+1999^2.3-1999.2000.3 \right )=\frac{3}{1999+2000}=\frac{1}{1333}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c\Leftrightarrow x=y=z$

Vậy $M$ phải cách đều 3 đường thẳng $AB,BC,CA$.

Gọi $O$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

Kẻ $ON$ _|_ $AB$ ; $OP$ _|_ $BC$ ; $OQ$ _|_ $CA$ ($N\in AB$ ; $P\in BC$ ; $Q\in CA$)

$AB$ _|_ $ON$ và $AB$ _|_ $MO$ $\Rightarrow AB$ _|_ $MN$ $\Rightarrow MN=x$

Tương tự ta có $MP=y$ và $MQ=z$

$x=y=z\Leftrightarrow MN^2=MP^2=MQ^2\Leftrightarrow ON^2=OP^2=OQ^2\Leftrightarrow ON=OP=OQ\Leftrightarrow O$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Mà $O$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABC)$ nên suy ra tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn ĐK đề bài là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $O$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$.

[MZT]

Chứng minh $x=y=z$ có thể dùng bđt C-S đơn giản hơn.