Chủ đề này có 61 trả lời

[ht2pro102]

đoạn bạn dùng AM-GM cho $\sqrt{2(x^2+y^2)}\geqslant 2\sqrt{xy}$.tới đây thì bất đẳng thức sai rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ht2pro102: 11-08-2012 - 10:53

[minhhieuchu]

Bài toán 5: Tìm GTNN của biểu thức:
$$A=|x^2-x+3|+|x^2-x-2|$$
Lời giải: Ta có:
$$A=|x^2-x+3|+|x^2-x-2|$$
$$=|(x-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}|+|(x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}|\geq |\frac{11}{4}|+|-\frac{9}{4}|= 5$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $(x-\frac{1}{2})^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.
Vậy GTNN của $A$ là $5$ khi $x=\frac{1}{2}$.

Bài này ra đáp số đúng, lời giải cũng không có vấn đề gì, chỗ sai là ở "=" xảy ra thôi.
$"=" \leftrightarrow ((x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4})(\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^{2})\geq 0 \leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{9}{4} \leftrightarrow \frac{-3}{4}\leq (x-\frac{1}{2})\leq \frac{3}{4} \leftrightarrow \frac{-1}{4}\leq x\leq \frac{5}{4}$
Đây mới là "=" đúng

[Gemini Shin]

Bài toán 16

Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Bài giải: 

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b$

 

 Đề đúng đấy. ko thiếu điều kiện đâu.. nhưng tại sao lại vây nhỉ??? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-06-2013 - 11:32

[Juliel]

Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Bài giải: 

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b$

 

 Đề đúng đấy. ko thiếu điều kiện đâu.. nhưng tại sao lại vây nhỉ??? 

Chia hai vế của BĐT cho $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}$ thì cần $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}>0$ thì BĐT sau đó mới không đổi chiều $a\geq b$

Mà $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}>0\Leftrightarrow \sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\Leftrightarrow a>b$ 

Bạn đã vô tình thừa nhận a > b rồi !   

[Gemini Shin]

Chia hai vế của BĐT cho $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}$ thì cần $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}>0$ thì BĐT sau đó mới không đổi chiều $a\geq b$

Mà $a\sqrt{b}-b\sqrt{a}>0\Leftrightarrow \sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})>0\Leftrightarrow a>b$ 

Bạn đã vô tình thừa nhận a > b rồi !   

ko. điều kiện là a>0, b>0. ko cho a>b và cũng ko có a>b.

bài giải sai hướng chứ ko phải là giải sai. yêu cầu ko chứng minh a>b,

phải là chứng minh $\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

[skydragon0]

Bài toán 16

Cho a>0, b>0. Chứng minh: $\large \frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a}$

 

Bài giải: 

$\frac{a\sqrt{b}}{b}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b\sqrt{a}}{a} \Leftrightarrow \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{b}\geq \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a}\Rightarrow a\geq b$

 

 Đề đúng đấy. ko thiếu điều kiện đâu.. nhưng tại sao lại vây nhỉ??? 

cách của mình là chuyển hất về 1 vế(mình lấy vế phải $\geq$ 0)

Đặt  $x^{2}$ =a; $y^{2}$ =b  ($x;y\geq 0$)

Biến đổi vế trái trở thành:

$(x^{2} - y^{2})( \frac{1}{y }- \frac{1}{x})$

Sau đó xét 

$TH:x\geq y(hay a\geq b) và TH:x\leq y(hay a\leq b)$ thì vế trái đều $\geq 0$

Chưa biết đánh công thức nên làm bỏ bước,thứ lỗi  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi skydragon0: 11-12-2013 - 18:09

[anh1999]

Bài Toán 17

cho a,b,c>0 và a+b+c=3 chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}$

Bài Giải

ta có $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}+\sum \frac{a+bc}{4a}\geq a+b+c=3$

mặt khác $\sum \frac{a+bc}{4a}=\frac{3}{4}+\frac{bc}{4a}+\frac{ac}{4b}+\frac{ab}{4c}\geq \frac{3}{2}$ 

=> DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 17-06-2014 - 13:47

[kisihoangtoc]

Bài này ra đáp số đúng, lời giải cũng không có vấn đề gì, chỗ sai là ở "=" xảy ra thôi.
$"=" \leftrightarrow ((x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4})(\frac{9}{4}-(x-\frac{1}{2})^{2})\geq 0 \leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{9}{4} \leftrightarrow \frac{-3}{4}\leq (x-\frac{1}{2})\leq \frac{3}{4} \leftrightarrow \frac{-1}{4}\leq x\leq \frac{5}{4}$
Đây mới là "=" đúng

Từ $(x-\frac{1}{2})^2\leq \frac{9}{4}$phải ra $\frac{-3}{2}\leq x-\frac{1}{2}\leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow -1\leq x\leq 2$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kisihoangtoc: 12-07-2014 - 11:02

[bestmather]

 

Bài Toán 17

cho a,b,c>0 và a+b+c=3 chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}$

Bài Giải

ta có $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}+\sum \frac{a+bc}{4a}\geq a+b+c=3$

mặt khác $\sum \frac{a+bc}{4a}=\frac{3}{4}+\frac{bc}{4a}+\frac{ac}{4b}+\frac{ab}{4c}\geq \frac{3}{2}$ 

=> DPCM

 

trái dấu kì bạn:

làm thế có nghĩa là trừ cả hai vế 1 bđt cho 1 bđt cùng chiều còn gì ?

[GeminiKid]

Bài toán 18

 

cho x,y là các số thực khác 0. tìm gtnn của  $P= \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

 

Bài giải

$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}= \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}$ (áp dụng bđt  $a^{2}+b^{2}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2}$)

=>$P\geq \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}.\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}}= 2\sqrt{2}$

dấu "=" xảy ra khi x=y

 bài giải trên có vấn đề gì không?

[tonarinototoro]

Có vấn đề ở chỗ đề bài chỉ cho $x,y$ khác $0$ chứ chưa cho lớn hơn hoặc bằng $0$ nên không thể áp dụng $BDT AM-GM$ được

bđt AM-GM ở đây hoàn toàn đúng(chỗ màu đỏ). còn bđt $a^{2}+b^{2}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2}$ ko phải là bđt AM-GM và bđt $\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^{2}\geq 0$ luôn đúng với mọi a,b (không cần đk $a,b\geq 0$)

 

Bài toán 18

 

cho x,y là các số thực khác 0. tìm gtnn của  $P= \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}$

 

Bài giải

$\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}= \frac{x^{4}+y^{4}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}$ (áp dụng bđt  $a^{2}+b^{2}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{2}$)

=>$P\geq \frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}+\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{4x^{2}y^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}}.\frac{\left ( x^{2} +y^{2}\right )^{2}}{2x^{2}y^{2}}}= 2\sqrt{2}$

dấu "=" xảy ra khi x=y

 bài giải trên có vấn đề gì không?

bài này sai ở chỗ bđt màu đỏ ko xảy ra dấu "=" tại x=y

[hoctrocuaHolmes]

Bài toán 19: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$ $(1)$

Lời giải:

Ta có $PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow x+y+4\sqrt{x+y}+4=x+y+2\sqrt{xy}\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2=1.2=2.1=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Thử từng giá trị nghiệm 

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=1 & \\ \sqrt{y}-2=2 & \end{matrix}\right. & & & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=2 & \\ \sqrt{y}-2=1 & \end{matrix}\right. & & & \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-2 & \\ \sqrt{y}-2=-1 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-1 & \\ \sqrt{y}-2=-2 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=9 & \\ y=16 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=16 & \\ y=9 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$ (đã chọn các nghiệm nguyên dương loại giá trị $x;y=0$)

Vậy.....

Lời giải trên không ổn chỗ nào vậy nhỉ,bạn có thể tìm ra không??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-07-2015 - 20:14

[arsfanfc]

Bài toán 19: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$ $(1)$

Lời giải:

Ta có $PT(1)\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2=1.2=2.1=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Thử từng giá trị nghiệm 

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=1 & \\ \sqrt{y}-2=2 & \end{matrix}\right. & & & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=2 & \\ \sqrt{y}-2=1 & \end{matrix}\right. & & & \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-2 & \\ \sqrt{y}-2=-1 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-1 & \\ \sqrt{y}-2=-2 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=9 & \\ y=16 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=16 & \\ y=9 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$ (đã chọn các nghiệm nguyên dương loại giá trị $x;y=0$)

Vậy.....

Lời giải trên không ổn chỗ nào vậy nhỉ,bạn có thể tìm ra không??

Sai ở chỗ phân tích thành nhân tử kìa         

$\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$

$<=> (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2$ @@@ xem lại bước này 

[hoctrocuaHolmes]

Sai ở chỗ phân tích thành nhân tử kìa         

$\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$

$<=> (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2$ @@@ xem lại bước này 

Xin lỗi nhé mình làm hơi tắt  .Mình đã sửa rồi đấy,bạn tìm chỗ sai đi 

[arsfanfc]

Nó vẫn sai mà bạn 

mình thấy nó đúng mà...bạn thay $4\sqrt{x+y}+4=4(\sqrt{x}+\sqrt{y})-4$ vào 

[Bonjour]

mình thấy nó đúng mà...bạn thay $4\sqrt{x+y}+4=4(\sqrt{x}+\sqrt{y})-4$ vào 

Mình nghĩ không được thay như thế ,vì chưa kết luận được rằng pt có nghiệm 

 

Bài toán 19: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$ $(1)$

Lời giải:

Ta có $PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow x+y+4\sqrt{x+y}+4=x+y+2\sqrt{xy}\Leftrightarrow (\sqrt{x}-2)(\sqrt{y}-2)=2=1.2=2.1=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Thử từng giá trị nghiệm 

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=1 & \\ \sqrt{y}-2=2 & \end{matrix}\right. & & & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=2 & \\ \sqrt{y}-2=1 & \end{matrix}\right. & & & \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-2 & \\ \sqrt{y}-2=-1 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-2=-1 & \\ \sqrt{y}-2=-2 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=9 & \\ y=16 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x=16 & \\ y=9 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$ (đã chọn các nghiệm nguyên dương loại giá trị $x;y=0$)

Vậy.....

Lời giải trên không ổn chỗ nào vậy nhỉ,bạn có thể tìm ra không??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 24-07-2015 - 23:34

[hoilamchi]

Mình nghĩ không được thay như thế ,vì chưa kết luận được rằng pt có nghiệm 

Điều này hoàn toàn có thể,chỉ cần giả sử phương trình có nghiệm nguyên là được mà.Bạn chỉ như vậy theo mình đâu có đúng 

[huynguyen01]

1.cho biểu thức A=$\frac{x^{2}-2x+2006}{x^{2}}$

Tìm GTNN của A

2. cho biểu thức B=$\frac{x}{(x+2000)^2{}}$ với x>0.

Tìm GTLN của B

[anhtukhon1]

1.cho biểu thức A=$\frac{x^{2}-2x+2006}{x^{2}}$

Tìm GTNN của A

2. cho biểu thức B=$\frac{x}{(x+2000)^2{}}$ với x>0.

Tìm GTLN của B

2.

Đặt $x+2000=a$ pt tương đương $\frac{a-2000}{a^{2}}=\frac{\frac{1}{8000}a^{2}+a-2000-\frac{1}{8000}a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{8000}-\frac{\frac{1}{8000}a^{2}-a+2000}{a^{2}}$

Có $\frac{1}{8000}a^{2}-a+2000=\frac{1}{8000}(a^{2}-8000a+16000000)=\frac{1}{8}(a-4000)^{2}\geq 0$

Vậy Min B=$\frac{1}{8000}$ khi và chỉ khi a=4000 nên x=2000

[Cuongpa]

1.cho biểu thức A=$\frac{x^{2}-2x+2006}{x^{2}}$

Tìm GTNN của A

 

Theo mình thì giải thế này:

ĐK: $x\neq 0$

$A=1-\frac{2}{x}+\frac{2006}{x^{2}}$

Đặt $\frac{1}{x}=y$ thì $A=2006y^{2}-2y+1$

$=2006(y^{2}-\frac{1}{1003}y+\frac{1}{2006^{2}})+\frac{2005}{2006}\geq \frac{2005}{2006}$

Dấu = $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2006}$

 

Mọi người tìm hộ xem có sai ko nhé! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 10-09-2015 - 19:14