$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$
#1
Posted 01-04-2012 - 20:46
#2
Posted 03-04-2012 - 15:04
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n
Edited by tuan101293, 03-04-2012 - 15:06.
- NguyThang khtn, Giang1994, dark templar and 2 others like this
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Posted 29-07-2012 - 09:31
giả sử tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dễ thấy $f$ đơn ánh.
Với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có: \[f\left( {f\left( n \right) + f\left( n \right)} \right) = n + n = 2n = \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right) = f\left( {f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right)} \right)\]
Suy ra: \[f\left( n \right) + f\left( n \right) = f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right)\]
Do đó, $f$ là hàm tuyến tính, hay $f$ có dạng: $f\left( n \right) = an + b$
Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
\[a\left( {\left( {an + b} \right) + \left( {am + b} \right)} \right) + b = n + m \Leftrightarrow {a^2}\left( {n + m} \right) + \left( {2a + 1} \right)b = n + m\]
Đống nhất hệ số, ta được:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
\left( {2a + 1} \right)b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =\pm 1\\
b = 0
\end{array} \right.\]
Mặt khác: $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \Rightarrow a = 1$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( n \right) = n,\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$
- dark templar, perfectstrong, minhtuyb and 3 others like this
#4
Posted 25-08-2014 - 16:03
+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n
Tại sao f(n)<f(1) lại vô lý ạ???
#7
Posted 25-08-2014 - 19:42
Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy
f(n) nguyên với mọi n bạn ơi
- ThousandMaster likes this
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
#8
Posted 29-06-2023 - 23:20
Tại sao f(n)<f(1) lại vô lý ạ???
Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy
Vì TXĐ, Tập giá trị của hàm số f là N*
Edited by ladygaga, 29-06-2023 - 23:21.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users