Bài 4.
Nhận xét $x=0\Rightarrow y=0$ là nghiệm của hệ.
Xét $x\neq 0\Rightarrow y\neq 0$. Chia hai vế của PT(1) cho $x^3$ và PT(2) cho $xy$ ta thu được
$\left\{\begin{matrix} x^3+\left ( \frac{y}{x} \right )^3 =9& \\ x+\frac{y}{x}=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x+\frac{y}{x} \right )^3-3y\left ( x+\frac{y}{x} \right ) =9& \\ x+\frac{y}{x}=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.$
Đặt $a=x+\frac{y}{x}$. Ta được $\left\{\begin{matrix} a^3-3ay=9 & \\ a=\frac{6}{y} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3-18=9 & \\ ay=6 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\frac{y}{x}=3 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
Từ đó thu được thêm hai nghiệm của hệ là $\left\{\begin{matrix} x=1 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=2 & \\ y=2 & \end{matrix}\right.$
cách giải khác:$\begin{cases} y^3=x^3\left(9-x^3\right)(1) \\x^2y+y^2=6x (2)\end{cases}$
$(1)\Leftrightarrow y=x\sqrt[3]{9-x^{3}}$
Thay vào 2 , ta có:$x^{3}\sqrt[3]{9-x^{3}}+x^{2}\sqrt[3]{(9-x^{3})^{2}}=6x$
$\Leftrightarrow x=0(\Rightarrow y=0)\vee x^{2}\sqrt[3]{9-x^{3}}+x\sqrt[3]{(9-x^{3})^{2}}=6$(3)
Đặt u=x,$v=\sqrt[3]{9-x^{3}}$ ta có:$(3)\Leftrightarrow u^{2}v+v^{2}u=\frac{2}{3}(u^{3}+v^{3})(4)$
Với $x\neq 0$ ta có:$(4)\Leftrightarrow \frac{v}{u}+(\frac{v}{u})^{2}=\frac{2}{3}(1+(\frac{v}{u})^{3})$
$u=-v\vee 2u=v\vee 2v=u$
$x=-\sqrt[3]{9-x^{3}}\vee x=2\sqrt[3]{9-x^{3}}\vee 2x=\sqrt[3]{9-x^{3}}\Leftrightarrow (x,y)=(2;2),(1;2)$