Chủ đề này có 748 trả lời

[Doilandan]

Sắp đến kì thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2013 -2014, mình lên mạng chỉ thấy các Topic về hình học mà chỉ toàn những bài khó, chỉ thích hợp để ôn luyện cho các bạn thi chuyên.
Nhưng thực tế các bài hình học trong các kì thi tuyển sinh ( đại trà ) từ năm 2007 đến nay thì câu cuối ( thường là câu d) ) rất khó. Điều này được chứng minh là các năm qua học sinh đạt điểm 10 chỉ đếm được trên đầu ngón tay (mất điểm thường câu d) hình học. Nay mình lập Topic này mong các bạn ủng hộ nhiệt tình.

Mình xin khởi sướng bài đầu tiên.

Bài 1:
Cho đường tròn tâm (O) nội tiếp tam giác HSB tiếp xúc với các cạnh BS, SH, HB theo thứ tự tại D, E, F. Gọi I là giao điểm của OD và EF. Qua I kẻ đường thẳng song song với BS cắt HB, HS theo thứ tự tại M và N. Đường thẳng qua H và song song với BS cắt EF tại K. Gọi V là trung điểm BS.
Chứng minh :
a) BH + BS – HS = 2.BD
b) OIMF và OIEN là các tứ giác nội tiếp.
c) 3 điểm H, I, V thẳng hàng.
d) OV vuông góc DK

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doilandan: 11-09-2012 - 16:03

[Doilandan]

Câu a), b), c) bài 1 đã được bạn hoclamtoan giải ở đây :
http://diendantoanho...showtopic=71123

Bài 2 :

Cho tam giác ABC ( AB < BC < CA ) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) và ba đường cao AD, BE, CF sắt nhau tại H.
a) Cm : tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm M đường tròn đó.
b) Gọi I là trung điểm đoạn BC. Cm : ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
c) Hai đường phân giác của hai góc ABE và góc ACF cắt nhau tại S. Cm : ba điểm M, S, I thẳng hàng.
d) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại K. Vẽ đường phân giác KP của góc BKC (P thuộc BC), PQ song song BK (Q thuộc CK). Tia CK cắt I tại N khác C. Khi $\frac{1}{{BK}} + \frac{1}{{CK}} = \frac{1}{{PK}}$ . Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BC và cung BC theo R.

Câu a), b), c) bài 2 đã giải được ở đây:
http://diendantoanho...showtopic=71278

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WWW: 26-05-2012 - 15:19

[davildark]

a) AEHF là tứ giác nội tiếp tâm M là trung điểm AH.
b) $\angle MEI$
= $\angle MEB + \angle BEI$
= $\angle MHE + \angle EBI$
= $\angle BHD + \angle HBD$
= $90^{\circ}$
=> đpcm.
c) ta thấy S là điểm chính giữa cung EF nhỏ của đường tròn (I).
=> IS là phân giác của $\angle EIF$
cm tương tự ý b ta có MF $\perp$ FI.
=> MF = ME
=> IM là phân giác của $\angle EIF$.
====> M,S,I thẳng hàng.
còn câu d mình ko làm đc.

d) Qua B vẽ đường thẳng // với KP cắt KC tại G
Dể dàng Cm được tam giác BGK cân tại K
Vì BG//PK
$\frac{BG}{PK}=\frac{GC}{KC}=\frac{GK+KC}{KC}=1+\frac{GK}{KC}=1+\frac{KB}{KC}=KB.(\frac{1}{KB}+\frac{1}{KC})$
$\Rightarrow BG=BK$
$\Rightarrow \bigtriangleup BKG $ đều
$\Rightarrow \widehat{BKG}=60^{\circ}\Rightarrow \widehat{BKC}=120^{\circ}$
Đến đây thì quá dể dàng rồi

P/s bài này còn giả thiết điểm N và Q chưa thấy sử dụng mình ko bik người ra đề cho có dụng ý gì nhưng mình thấy
N , D ,E thẳng hàng các bạn CM thử

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 18-04-2012 - 12:31

[perfectstrong]

Hiển nhiên là N,D,E thẳng hàng.
CM:
BDKN là tgnt $\Rightarrow \angle KND=\angle KBD=\angle HBD=\angle CNE \Rightarrow Q.E.D$

[Doilandan]

Cám ơn các bạn đã tích cực tham gia. Nay minh gửi tiếp bài 3.

Bài 3 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có $\widehat{A}$ = 60 và AB < AC. Vẽ các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : góc AFE = góc ACB và EF = ½ BC
b) Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh 4 điểm : B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn có tâm D.
c) Gọi I là giao điểm của đoạn AD với (D;DB). Chứng minh : I là tâm đường tròn nội tiếp của ∆ABC và IH = IO.
d) Chứng minh : OI² = R² - 2R.r ( với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doilandan: 20-04-2012 - 12:27

[chuot nhoc]

Câu a: ta có $\bigtriangleup AEB\sim \bigtriangleup AFC(gg)\Rightarrow \frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\rightarrow \bigtriangleup AEF\sim \bigtriangleup ABC(cgc)\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{ACB}$
Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^{\circ}\Rightarrow$ tứ giác BFEC nội tiếp,suy ra: $\widehat{FBE} =\frac{1}{2}sdFE$=30$^{\circ}$ (1)
Mặt khác: $\widehat{BAC}=60^{\circ}=\frac{1}{2}sdBC$ (2)
Từ 1 và 2 suy ra đpcm

[tolaphuy10a1lhp]

Cám ơn các bạn đã tích cực tham gia. Nay minh gửi tiếp bài 3.

Bài 3 :
Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R) có $\widehat{A}$ = 60 và AB < AC. Vẽ các đường cao BE và CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : góc AFE = góc ACB và EF = ½ BC
b) Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Chứng minh 4 điểm : B, H, O, C cùng nằm trên đường tròn có tâm D.
c) Gọi I là giao điểm của đoạn AD với (D;DB). Chứng minh : I là tâm đường tròn nội tiếp của ∆ABC và IH = IO.
d) Chứng minh : OI² = R² - 2R.r ( với r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ).

c) Giao điểm hai p/g BI và AI.
d) kéo dài IO cắt (O) tại hai điểm M, N.
$\triangle AMI\sim \triangle DNI$ suy ra $AI.DI=R^{2}-OI^{2}$(1)
Kẻ đk DT, kẻ IK vuông góc AC.
$\triangle AIK\sim \triangle DTC$ suy ra $AI.DI=TD.DC=2Rr$(2)
(1)(2)suy ra đpcm (Hệ thức Euler)

[Doilandan]

Bài 4 :
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A và B. Trên nữa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại B.

a) Cm tứ giác CPKB nội tiếp.
b) Cm : AI.BK = AC.CB
c) Tính số đo $\widehat {APB}$ ?
d) Xác định vị trí điểm C sao cho diện tích tứ giác ABIK lớn nhất. Biết A, B, I cố định.

Câu c) và d) bài 4 đã được bạn TNP giải. Các bạn tham khảo tại :http://forum.mathsco...5601#post145601


..............................................................................

Câu c) bài 3 bạn liverpool29 đã giải ở đây : http://forum.mathsco...5601#post145601

Mời các bạn tham khảo!................
-----

Năm nay các bạn thi vào lớp 10 sẽ có nhiều tài liệu hay để ôn thi đây! Hi....
Bài tiếp theo............

Bài 5 : Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD. Đường tròn tâm I đường kính BC cắt đường tròn (O) tại E, AE cắt (O) tại F.
a) Cm tứ giác ABCE nội tiếp.
b) Cm $\widehat {BCA} = \widehat {ACF}$.
c) Lấy điểm M đối xứng với D qua A; N đối xứng với D qua đường thẳng BC. Cm tứ giác BMCN nội tiếp.
d) Xác định vị trí của D để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WWW: 26-05-2012 - 15:19

[tolaphuy10a1lhp]

Câu c) bài 3 bạn liverpool29 đã giải ở đây : http://forum.mathsco...5601#post145601

Mời các bạn tham khảo!................

Câu c
Mình nghĩ nhiều bạn giải được nhưng ngại Latex.
Thực ra có cách giải khác ngắn hơn bên MS (cả hai yêu cầu câu c).
$\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{IDC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$
Suy ra I là gđ AI và BI hay I là tâm đtnt tg ABC.
Kẻ đk AG, $\widehat{BAH}=\widehat{OAC}=\widehat{OCA}= \widehat{HCB}$
CI là pg $\widehat{ACB}$ suy ra CI là pg $\widehat{OCH}$
hay OH=HI .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 21-04-2012 - 23:34

[hoclamtoan]

Bài 5 :

b) BAEC nt $\widehat{BCA}=\widehat{AEB}$
DEFC nt $\widehat{ACF}=\widehat{AEB}\Rightarrow$ đpcm.
c) D, M đx qua A nên A là trung điểm của MD, mà $BA\perp MD \Rightarrow$ BA là trung trực của MD $\Rightarrow \Delta MBD$ cân tại B $\Rightarrow \widehat{BMD}=\widehat{BDM}$ (1)
D, N đx qua BC nên BC là trung trực của ND. Cm được : $\Delta BDC=\Delta BNC\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{BNC}$ (2)
Mặt khác : $\widehat{BDM}+\widehat{BDC}=180^{o}$ (3)
Từ (1)(2)(3) $\Rightarrow \widehat{BMD}+\widehat{BNC}=180^{o}\Rightarrow$ đpcm.
d) Gọi CC' là đk của (BMCN) $\Rightarrow CC'\geq BC$ , mà BC không đổi nên CC' nhỏ nhất khi CC' = BC $\Rightarrow (BMCN)\equiv (I)$
$\Rightarrow D\equiv A\Rightarrow$ đpcm.

[Doilandan]

Bài 6 :
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường (O;R), có H là trực tâm. Tia AH cắt đường tròn (O) tại E. Kẻ đường kính AOF.
a) Cm : BC // EF
b) Gọi I là trung điểm BC. Cm H,I,F thẳng hàng và AH = 2OI
c) Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA, cắt AB và AC lần lượt tại D và K. Cm AO vuông DK.
d) Cm : SinA + SinB + SinC < 2(CosA + CosB + CosC)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doilandan: 24-04-2012 - 21:12

[tolaphuy10a1lhp]

Bài 6 :
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường (O;R), có H là trực tâm. Tia AH cắt đường tròn (O) tại E. Kẻ đường kính AOF.
a) Cm : BC // EF
b) Gọi I là trung điểm BC. Cm H,I,F thẳng hàng và AH = 2OI
c) Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA, cắt AB và AC lần lượt tại D và K. Cm AO vuông DK.
d) Cm : SinA + SinB + SinC < 2(CosA + CosB + CosC)

c) nhiều cách
d) Gọi J, Q lần lượt là trung điểm AB, AC
$JQ<OJ +OQ$
$\Leftrightarrow RsinA<RcosB +R cosC$
$\Leftrightarrow sinA<cosB + cosC$
Chứng minh tương tự, suy ra đpcm.

Các bạn xem thêm hai cách khác: mình và một bạn khác giải ở đây:
http://diendantoanho...showtopic=58822

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 25-04-2012 - 16:17

[tolaphuy10a1lhp]

Bài 7:
Cho tam giác ABC nhọn (AB< AC) nội tiếp (O, R). Phân giác $\widehat{BAC}$ cắt BC tại E và cắt (O) tại N.. Kẻ đường kính NF, EF cắt (O) tại D. Kẻ DR, DQ, DP lần lượt vuông góc AB, BC, CA.

a) Chứng minh QP = RQ.
b) Gọi I là trung điểm AC. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Cho $\widehat{AOI}=60^o$, tính $S_{BOH}$.

Bài 8:
Từ một điểm S bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến SB, SC và cát tuyến SDA. Kẻ $AG \perp BC$, $AE\perp SB$ ,$AF\perp SC$. AC cắt FG tại H, AB cắt EG tại K. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHF và đường tròn ngoại tiếp tam giác AKE cắt nhau tại M. Kẻ $ON \perp BC$.

a) Chứng minh $HK || BC$.
b) Chứng minh E, M, F thẳng hàng.
c) Chứng minh A, M, N thẳng hàng,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 25-04-2012 - 05:39

[Doilandan]

Cám ơn bạn tolaphuy10a1lhp nhiều! Bạn trình bài đẹp và rất nhiệt tình. Mong bạn và nhiều bạn khác tiếp tục cống hiến. Mình vừa giới thiệu bài viết và 2 bài toán của bạn tại địa chỉ :
http://forum.mathsco...6131#post146131

Hình bài 7 :mình giải không được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WWW: 26-05-2012 - 15:20

[phuocbig]

Hình bài 7 :mình giải không được.

a)C/m PQ=QR
Dễ dàng c/m P,Q,R thẳng hàng (đường thẳng simpson)
và $\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}=\frac{DB}{DC}$ (t/c phân giác)
Lại có : $cosRBD=cosDCP$
$=>\frac{BR}{BD}=\frac{CP}{CD}$
$=> \frac{BR}{CP} =\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
$=> \frac{BR}{AB}=\frac{CP}{AC}$
Kẻ $PL// AB$ => $\frac{PL}{AB}= \frac{CP}{AC} = \frac{BR}{AB}$
$=> PL= BR$ ; mà $PL//BR$ => BPLR là hình bình hành
Đến đây thì ok
b)C/m tam giác BOH cân và tính S BOH
Từ 1 bổ đề quen thuộc ta có $HB = 2OI$
Dễ dàng tính đc $OI = \frac{R}{2}$ nên $HB = R =OB$ => $\Delta
BOH$ cân tại B
Lại có $\widehat{HBO} = \widehat{KBC} - \widehat{OBC}= 30^{\circ}$
C/m : $S BOH = \frac{1}{2}sinHBO.BH.BO = \frac{R^2}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocbig: 25-04-2012 - 22:01

[tolaphuy10a1lhp]

a)C/m PQ=QR
Dễ dàng c/m P,Q,R thẳng hàng (đường thẳng simpson)
và $\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}=\frac{DB}{DC}$ (t/c phân giác)
Lại có : $cosRBD=cosDCP$
$=>\frac{BR}{BD}=\frac{CP}{CD}$
$=> \frac{BR}{CP} =\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
$=> \frac{BR}{AB}=\frac{CP}{AC}$
Kẻ $PL// AB$ => $\frac{PL}{AB}= \frac{CP}{AC} = \frac{BR}{AB}$
$=> PL= BR$ ; mà $PL//BR$ => BPLR là hình bình hành
Đến đây thì ok
b)C/m tam giác BOH cân và tính S BOH
Từ 1 bổ đề quen thuộc ta có $HB = 2OI$
Dễ dàng tính đc $OI = \frac{R}{2}$ nên $HB = R =OB$ => $\Delta
BOH$ cân tại B
Lại có $\widehat{HBO} = \widehat{KBC} - \widehat{OBC}= 30^{\circ}$
C/m : $S BOH = \frac{1}{2}sinHBO.BH.BO = \frac{R^2}{4}$

Cảm ơn bạn. Câu a bạn có một cách hay, câu b bạn giải thích rõ K(?) và tính góc HBO.

[phuocbig]

Cảm ơn bạn. Câu a bạn có một cách hay, câu b bạn giải thích rõ K(?) và tính góc HBO.

à xin lỗi bạn nhé câu b mình nhầm , mà hình như thiếu giả thiết thì phải , tại vì nếu cho 1 góc đó thôi mình kéo về tam giác đều đc lúc đó tam giác BOH xẹp luôn ko tính đc nữa , bạn coi lại dùm mình nhé

[tolaphuy10a1lhp]

Cảm ơn bạn. Đề này đúng. (đề ôn thi HK II Quận I, TpHCM 2011).

P/s: Bạn phuocbig đã đúng. Bài này thiếu đk, cho thêm góc A= 75⁰ thì giải quyết được bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 05-05-2012 - 21:06

[phuocbig]

Thế thôi mình cũng chịu vậy
Bài 8 :
a)C/m HK //BC
C/m:AGCF nt => $\widehat{FAG}=\widehat{BCA}=\widehat{BAC}$
và $\widehat{FAC}=\widehat{FGC}$
Lại có : $\widehat{FAG} = \widehat{FAC}+\widehat{CAG}=\widehat{BAC}=\widehat{BAG}+\widehat{CAG}$
$=>\widehat{FAC}=\widehat{BAG}$
$=>\widehat{FGC}=\widehat{BAG}$ $(1)$
C/m : AEBG nt $=> \widehat{AGE} = \widehat{ABE} = \widehat{ACB}$
và $\widehat{BEG} = \widehat{BAG}$ $(2)$
$(1)(2)$ $=>\widehat{FGC}=\widehat{BEG}$
mà $\widehat{HCG}=\widehat{KBE}$
$=>\widehat{FBC} + \widehat{HCG} = \widehat{BEG}+\widehat{KBE}
=> \widehat{FHC}=\widehat{BKG}
=>\widehat{AHG}=\widehat{BKG} $
=> AKGH nt $=>\widehat{AHK}=\widehat{AGK}$
mà $\widehat{AGK}=\widehat{ACG}$ (cmt)
$=>\widehat{AHK}=\widehat{ACG}
=>HK//BC$
(cách mình câu này hơi dài ai có cách ngắn hơn post tham khảo nhá )
b)C/m E,M,F thẳng hàng
Do (AEK) cắt (AHF) tại M
$ \widehat{AME}=\widehat{AKE}=\widehat{BKG}$
và $\widehat{AMF}=\widehat{AHF}=\widehat{GHC}$
mà $\widehat{BKG}=\widehat{AHG}$ (do AKGH nội tiếp)
$\widehat{AHG}+\widehat{GHC}=180^{\circ}$
=> $\widehat{AMF}+\widehat{AME}=180^{\circ}$
=> đpcm
c)C/m A,M,N thẳng hàng
Dễ dàng c/m N trung điểm BC
Gọi giao điểm AN và HK là S
Do $HK//BC$
$=>\frac{SK}{BN}=\frac{AS}{AN}=\frac{SH}{NC}$
Mà $NB=NC$ => $SK=SH$ => S trung điểm HK
Gọi giao điểm của AM và HK là S'
Ta cần c/m S' là trung điểm HK
Ta có : $\widehat{AKM}+\widehat{MKS'}=\widehat{AKS'}=\widehat{ABC}=\widehat{AEK}=\widehat{AEM}+\widehat{KEM}$
$=> \widehat{AEM}+\widehat{MKS'}=\widehat{AEM}+\widehat{KEM}$
$=> \widehat{MKS'}=\widehat{KEM}$
$=>S'K$ là tiếp tuyến $(AEKM)$ $=> S'K^2=S'M.S'A$
Cmtt đối với (AMHF): $S'H^2 = S'M.S'A$
$=> S'H = S'K$ => S' trung điểm HK $=> S \equiv S'$
=> đpcm

[tolaphuy10a1lhp]

Cảm ơn bạn Doilandan, phuocbig, các bạn tiếp tục với bài này.
Bài 9:
Cho (O) đường kính AB = 2R. Trên tia BA lấy M sao cho AM = R. Kẻ tiếp tuyến ME (E là tiếp điểm). Kẻ EH vuông góc AB, EH cắt (O) tại F. kẻ đường kính ED. MD cắt (O) tại C.
a) Chứng minh AD, BC, EF đồng quy .
b) Gọi P là giao điểm BC và AD.Chứng minh : $AP.AD + PC.BC = \frac{4\sqrt{3}}{3}S_{OEMF}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tolaphuy10a1lhp: 26-04-2012 - 05:45