${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$
#1
Đã gửi 29-04-2012 - 14:32
Mong các bạn góp ý
Bài toán 1: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài toán 2: (Stranger411)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Chú ý: Với bài toán 2,ta có một số kết quả:
$k=6$: Hệ quả của bđt Schur
$k=7$: Bài toán đã được arqady giải ở Mathlinks
Tuy nhiên,$k=7$ không phải hằng số tốt nhất cho bđt trên.
$P_{G}(\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{n})=\frac{1}{|G|}\sum_{\tau\in G}ind(\tau)$
#2
Đã gửi 08-07-2014 - 17:56
#3
Đã gửi 09-01-2017 - 21:13
Bài toán 1: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài toán 2: (Stranger411)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa $ab+bc+ca=3$. Tìm hằng số k lớn nhất để bđt sau đúng:
$${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+kabc\ge 3+k$$
Bài $k_{\max} = \frac{15}{4}$ nó chính là bất đẳng thức Schur bậc ba và từng là đề thi Olympic 30/4. Còn bài 2 $k_{\max} = 6\sqrt{3}-3.$ Với hằng số này xét
\[P = \left[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+(6\sqrt{3}-3)abc\right]^2-4(ab+bc+ca)^3.\]
Ta có
\[P = \sum (a^2+bc) \sum a^2(a-b)(a-c) + 6(2\sqrt{3}-3)abc(a+b+c)\sum (a^2-bc) +12abc\sum a(a-b)(a-c).\]
Dễ thấy $P$ không âm nên ta có điều phải chứng minh.
- Element hero Neos yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh