Edited by huynhmylinh, 02-05-2012 - 09:08.
Cho các số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 2007, ... CMR trong 3 số a, b, c có ít nhất 1 số bằng 2007
Started By kellyfire, 02-05-2012 - 00:10
#1
Posted 02-05-2012 - 00:10
kellyfire
-
- Thành viên
-
- 7 posts
Lính mới
Cho các số $a, b, c$ thỏa mãn: $a +b +c = 2007$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2007}$ CMR : Trong $3$ số $a, b, c$ có ít nhất $1$ số bằng $2007$
#2
Posted 02-05-2012 - 10:43
dungmathpro
-
- Thành viên
-
- 39 posts
Binh nhất
Ta có:
$a+b+c=2007\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2007}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{-(b+c)}{a(a+b+c)}=\frac{b+c}{bc}\Rightarrow (b+c)\left [ \frac{1}{a(a+b+c)}+\frac{1}{bc} \right ]=0\Leftrightarrow (b+c)\left [ \frac{a^2+ab+ac+bc}{abc(a+b+c)} \right ]=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)\left [ \frac{1}{abc(a+b+c)} \right]\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b=0\\b+c=0 \\ c+a=0 \end{bmatrix}$
mà a+b+c=2007 suy ra một trong ba số bằng 2007
l
$a+b+c=2007\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{2007}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$\frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow \frac{-(b+c)}{a(a+b+c)}=\frac{b+c}{bc}\Rightarrow (b+c)\left [ \frac{1}{a(a+b+c)}+\frac{1}{bc} \right ]=0\Leftrightarrow (b+c)\left [ \frac{a^2+ab+ac+bc}{abc(a+b+c)} \right ]=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(a+c)\left [ \frac{1}{abc(a+b+c)} \right]\Rightarrow (a+b)(b+c)(a+c)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} a+b=0\\b+c=0 \\ c+a=0 \end{bmatrix}$
mà a+b+c=2007 suy ra một trong ba số bằng 2007
l
- perfectstrong, tpdtthltvp and bovuotdaiduong like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
