Cho tứ diện ABCD. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện cmr:
$$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-08-2015 - 11:00
Cho tứ diện ABCD. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện cmr:
$$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-08-2015 - 11:00
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Nếu hết ngày 09/08 mà vẫn không có ai giải được hay phủ định được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được hay phủ định được bài toán này
Cho tứ diện ABCD. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện cmr:
$$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
Gọi $h_a,h_b,...$ tương ứng là các đường cao của tứ diện hạ từ các đỉnh $A,B,..$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu nội tiếp.
Rõ ràng $\frac{r}{h_a}=\frac{V_{IBCD}}{V_{ABCD}}$, thực hiện các tỷ số tương tự và cộng dọc ta suy ra:
$\frac{r}{h_a}+\frac{r}{h_b}+\frac{r}{h_c}+\frac{r}{h_d}=1$
$\Rightarrow \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_d}=\frac{1}{r}$
Chú ý $h_a, h_b \leq AB$ và $h_c,h_d \leq CD$ nhưng không thể đồng thời xảy ra dấu bằng cả 4 BĐT, cho nên:
$\frac{1}{r}>\frac{2}{AB}+\frac{2}{CD}$.
Suy ra đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 28-01-2016 - 02:31
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh