Chủ đề này có 71 trả lời

[perfectstrong]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

BTC yêu cầu MSS19 ra đề vào topic này. Sau khi đánh máy đề, phải nhấn nút Chấp nhận để để được hiện lên.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

b. Luật Loại trực tiếp: Luật chỉ áp dụng khi có $n >20$ toán thủ tham gia thi đấu.
- Sau mỗi trận, $k$ toán thủ có số điểm ít nhất sẽ bị loại. Trong trường hợp có nhiều toán thủ cùng điểm số, toán thủ nào có thời gian bỏ thi đấu dài nhất sẽ ưu tiên bị loại.
$$k=\frac{\left \{(n-10) - [(n-10) \mod 10] \right \}}{10}$$
- Toán thủ bị loại sẽ không đuợc đăng kí lại
- Khi Chỉ còn 20 toán thủ, Luật này ko còn hiệu lực

BTC lưu ý:
1) trận 6 có 27 toán thủ tham gia nên sau trận này, toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.
2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

[Kir]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-05-2012 - 19:24

[NLT]

Lời giải của Princeofmathematics:
Bổ đề: Số chính phương không có dạng 3m+2.
Chứng minh: Số chính phương có dạng tổng quát là ${a^2}$ (a là số tự nhiên), thì ta suy ra:

$\left[ \matrix{
a \equiv 0(\bmod 3) \cr
a \equiv 1(\bmod 3) \cr
a \equiv - 1(\bmod 3) \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
{a^2} \equiv 0(\bmod 3) \cr
{a^2} \equiv 1(\bmod 3) \cr
{a^2} \equiv 1(\bmod 3) \cr} \right.$
$ \Rightarrow \left[ \matrix{
{a^2} = 3k \cr
{a^2} = 3k' + 1 \cr} \right.\left( {k,k' \in N} \right)$
Từ đó ta chứng minh được bổ đề.
-------------------
Trở lại bài toán:
Với p=2, thì: ${5^p} + {12^p} = {5^2} + {12^2} = 169 = {13^2}$ là số chính phương.
Với p > 2 thì ta có p là số nguyên tố nên p lẻ.
Ta có:
$12 \vdots 3 \Rightarrow {12^p} \equiv 0(\bmod 3)$ (1)
$5 \equiv - 1(\bmod 3) \Rightarrow {5^p} \equiv {\left( { - 1} \right)^p}(\bmod 3)$
$ \Rightarrow {5^p} \equiv - 1(\bmod 3)$ hay $ \Rightarrow {5^p} \equiv 2(\bmod 3)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ${5^p} + {12^p} \equiv 2(\bmod 3)$ hay ${5^p} + {12^p} = 3m + 2$
Áp dụng bổ đề ta suy ra với p là số nguyên tố, p>2 thì ${5^p} + {12^p}$ không là số chính phương.
Vậy ta tìm được số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là p=2.
-------------

MR5, MR9, MR10 không phải là MR mà là 1 bài toán khác. Những $MR_i$ nào mà là bài toán đặc biệt của $MR_j$ thì sẽ không được tính.
D-B=0.4h
E=10+1+1+1+1=14
F=10*10=100
S=189.6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 18:37

[Nguyễn Hữu Huy]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.

Ta sẽ chứng minh theo phép đồng dư

Đầu tiên ta có bổ đề :
Với mọi số chính phương y^2 luôn có các dạng sau : 5r ; 5r + 1 ; 5r - 1
Tức đồng dư với 0 ; 1 ; - 1 theo modun 5(*)
Chứng minh :
Với $y = 5a$ thì $y^2 = 25a^2 = 5r_1 \equiv 0 (mod 5)$
Với $y = 5a + 1$ thì $y^2 = 25a^2 + 10a + 1 = 5(5a^2 + 2a) + 1 = 5r_2 + 1 \equiv 1 (mod 5)$
Với $y = 5a + 2$ thì $y^2 = 25a^2 + 20a + 4 = 5(5a^2 + 4a + 1) - 1 = 5r_3 - 1 \equiv -1 (mod 5)$
Với $y = 5a + 3$ thì $y^2 = 25a^2 + 30a + 9 = 5(5a^2 + 6a + 2) - 1 = 5r_4 - 1 \equiv - 1 (mod 5)$
Với $y = 5a + 4$ thì $y^2 = 25a^2 + 40a + 16 = 5(5a^2 + 8a + 3) + 1 = 5r_4 + 1 \equiv 1 (mod 5)$
Vậy bổ đề (*) được chứng minh



Do p là số nguyên tố
Nên ta xét 2 TH
Th1 : $p = 2$
Khi đó $5^2 + 12^2 = 13^2$
KHi đó $p = 2$ là giá trị cần tìm

Th2 : p là số lẻ
Khi đó p có dạng $p = 2k + 1$ (k là số nguyên)
Khi đó
$5^p \equiv 5 (mod 0)$ (*1)

Ta có
$12^p \equiv 2^p (mod 5)$
$2^p = 2^{2k + 1} = 4^k.2$
Ta lại có $4^k.2 \equiv (-1).2 \equiv -2 (mod 5)$
Hay $12^p \equiv -2 ( mod 5)$ (*2)

Từ (*1) và (*2)
Suy ra $5^p + 12^p \equiv -2 (mod 5)$ (*)(*)

Theo gt $5^p + 12^p = y^2$ (t thuộc Z)

Rõ ràng dễ thấy sự mâu thuẫn giữa bổ đề (*) và kết luận (*)(*)
Vậy ko tồn tại p nguyên tố , p > 2 thõa mãn yêu cầu bài toán

Vậy chỉ tồn tại p = 2 thõa mãn đề bài !

D-B=0.7h
E=10
F=5*10=50
S=127.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 18:48

[NLT]

Mở rộng của Princeofmathematics:
MR1:Chứng minh rằng có nhiều nhất chỉ 1 số nguyên tố p thỏa: ${\left( {3a - 1} \right)^p} + {\left( {3b} \right)^p}$ với a,b là các số tự nhiên, a>0.
Giải hoàn toàn tương tự bài đầu:
Ta chứng minh khi p> 2 thì p không thỏa.
Thật vậy, p là số nguyên tố , p>2 nên p lẻ, suy ra:
${\left( {3a - 1} \right)^p} \equiv {\left( { - 1} \right)^p} \equiv - 1(\bmod 3)$
và $ {\left( {3b} \right)^p} \equiv 0(\bmod 3) $
Suy ra:
$ {\left( {3a - 1} \right)^p} + {\left( {3b} \right)^p} \equiv - 1 \equiv 2(\bmod 3) $ hay $ {\left( {3a - 1} \right)^p} + {\left( {3b} \right)^p} = 3k + 1\left( {k \in N} \right) $ => ${\left( {3a - 1} \right)^p} + {\left( {3b} \right)^p}$ không là số chính phương.
Do đó p>2 không thỏa đề ra, vậy chỉ có ít nhất 1 giá trị thỏa đề ra là p=2

[phantomladyvskaitokid]

Vì p là số nguyên tố nên:

* Với p=2 thì $5^p+12^p=169$ là số chính phương (t/m)

* Với $p\neq 2$ thì $p=2k+1(k\in Z^+)$

khi đó $5^p=5^{2k+1}=5.25^k$

mà $25\equiv 1(mod3)\Rightarrow 25^k\equiv 1(mod3)$

$5\equiv 2(mod3)$

suy ra $5^p\equiv 2(mod3)$

$\Rightarrow 5^p+12^p\equiv 2(mod3)$

$\Rightarrow 5^p+12^p$ ko là số chính phương (loại)

Vậy p=2

D-B=0.8h
E=9
F=1*10=10
S=84.2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 20:10

[ToanHocLaNiemVui]

Solution:
Đặt: $A=5^{p}+12^{p}$
Ta xét 2 TH:
◘, $p=2$ thì: $A=169$, dễ thấy $169$ là một số chính phương. Vậy $p=2$ là một GT cần tìm.
◘, $p>2$, ta sẽ chứng minh $A$ không thể là một số chính phương. Thật vậy:
Vì $p$ là một số nguyên tố nên $p$ lẻ, suy ra: $p$ có dạng: $2k+1$ với $k\in \mathbb{Z^{+}}; k>1$.
Ta có: $A=5^{p}+12^{p}=5^{2k+1}+12^{2k+1}\equiv 2^{2k+1}\equiv (-1)^{k}.2$ (mod 5)
Vậy $A$ khi chia cho 5 sẽ có dư là 2 hoặc 3. (1)
Mặt khác: Một số CP thì có dạng:
$(5t)^{2};(5t+1)^{2};(5t+2)^{2};(5t+3)^{2};(5t+4)^{2} $, tất cả đều chia cho 5 thì có dư là 0,1,4. (2)
Từ (1) và (2), suy ra với số nguyên tố $p>2$ thì $A=5^{p}+12^{p}$ sẽ không thể là số CP.
Vậy chỉ có duy nhất số nguyên tố $p=2$ thì $5^{p}+12^{p}$ là một số CP.

D-B=1h
E=9.5
F=0
S=75.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 19:56

[Cao Xuân Huy]

Quy ước: kí hiệu $a \equiv b(\bmod c)$ nghĩa là $a,b$ cùng số dư khi chia cho c

Bổ đề: Một số chính phương $n^2$ ($n\in \mathbb{N}$) khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1.
Chứng minh:
+ Nếu $n \vdots 3$ thì $n^2 \vdots 3$
+ Nếu $n$ không chia hết cho 3 thì $n = 3k \pm 1$ ($k\in \mathbb{N}$)
Ta có: $n^2=9k^2-pm 6k +1$ nên $n^2$ chia 3 dư 1.
Trở lại bài toán:
Đặt: $S=5^p+12^p$
+ Nếu $p=2$ thì $S=169=13^2$ là số chính phương: thỏa mãn đề bài
+ Nếu $p\ge3$ thì $p$ là số lẻ (vì p là số chính phương) nên $p$ có dạng $p=2x+1$ ($x\in \mathbb{N}$)
Do đó:
\[S = {5^p} + {12^p} = {(6 - 1)^p} + {12^p} \equiv {( - 1)^{2x + 1}} + {0^p}\]
\[ \Rightarrow S \equiv - 1 \equiv 3 - 1 \equiv 2(\bmod 3)\]
Do đó: $S$ chia 3 dư 2
Mà không tồn tại số chính phương $S$ để $S$ chia 3 dư 2.
Do đó trường hợp $p\ge 3$ không có số nguyên tố $p$ để $S$ là số chính phương.
Vậy $p=2$ là giá trị duy nhất thỏa mãn bài toán.

D-B=1.2h
E=10
F=0
S=76.8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 17-05-2012 - 14:03

[NLT]

MR2: Dễ thấy, đề bài của Kir có thể mở rộng với k nguyên dương như sau:
Tìm p tự nhiên để ${5^p} + {12^p}$ là số chính phương.
Giải:Dế thấy p=0 và p=1 không thỏa; p=2 thỏa đề ra.
Xét p>2, có 2 trường hợp xảy ra:
* TH1: p lẻ.
Ta dễ dàng chứng minh được, với p lẻ thì ${5^p} + {12^p}$ không là số chính phương theo tương tự như MR1.
* TH2: p chẵn, đặt p=2k (k tự nhiên, ${\mkern 1mu} k \ge 2$).
Giả sử:${5^{2k}} + {12^{2k}} = {n^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({\mkern 1mu} k \ge 2)$ và n tự nhiên, n>169
$ \Rightarrow {5^{2k}} = {n^2} - {12^{2k}} = \left( {n - {{12}^k}} \right)\left( {n + {{12}^k}} \right)$
Do đó: $\left( {n - {{12}^k}} \right)\left( {n + {{12}^k}} \right) \vdots 5$
Nếu $\left( {n - {{12}^k}} \right)$ và $\left( {n + {{12}^k}} \right)$ đều chia hết cho 5 thì ta suy ra: $\left( {n + {{12}^k}} \right) - \left( {n - {{12}^k}} \right) \vdots 5$ $ \Rightarrow {2.12^k} \vdots 5 $(không thỏa vì tích ${2.12^k}$ không chứa ước là 5). Do đó, chỉ có 1 trong 2 số $\left( {n + {{12}^k}} \right)$ và $\left( {n - {{12}^k}} \right) $ chia hết cho 5.
Mặt khác ${5^{2k}}$ chỉ có 1 ước nguyên tố là 5 nên trong 2 số $\left( {n + {{12}^k}} \right)$ và $\left( {n - {{12}^k}} \right) $ có 1 số bằng 1, dễ thấy $n + {12^k} > n - {12^k}$ nên $n - {12^k} = 1$ => $n = {12^k} + 1$.
Suy ra: ${5^{2k}} = {2.12^k} + 1 \Rightarrow {2^{2k + 1}}{.3^k} = \left( {{5^k} - 1} \right)\left( {{5^k} + 1} \right)$.
Nếu k lẻ thì ${5^k} + 1$ chia hết 3 và ${5^k} - 1$ không chia hết 3 nên $5^k + 1 = 2.3^k $ Từ đó: $4^k = 5^k -1$. Đẳng thức này không thể đúng với $k \ge 2$.
Tương tự, nếu k chẵn thì $5^k + 1$ không chia hết cho 3 và $5^k - 1 \vdots 3$. Do đó $5^k - 1 = 2.3^k $.
Như thế $4^k = 5^k +1$, không đúng với $k \ge 2$.
Vậy ta tìm được p=2.
----------------

[mituot03]

* C/m số có dạng 3k+2 không phải là số chính phương ( k $\in$ N)
(t; k; h; g $\in$ N
Với a=3t => a$^{2}$ = 9t$^{2}$ = 3k (1)
a=3t+1 => a$^{2}$ = 9t$^{2}$ + 6t +1= 3h +1 (2)
a= 3t+2=> a$^{2}$= (3t +2)$^{2}$ = 9t$^{2}$+12t + 4 = 3g+1(3)
Từ (1), (2), (3) => đpcm
* Trở lại bài toán
Đặt A= 5$^{p}$+12$^{p}$
Với p=2 ta có A= 5$^{2}$+ 12$^{2}$ = 169 = 13$^{2}$
=> p= 2 thì A là số chính phương (*)
Với p>2 => p là số lẻ (p là số nguyên tố)=>p=2m+1
=> A=(5+12)(5$^{2m}$- 5$^{2m-1}$.12+....+12$^{2m}$)=17.B
(B= 5$^{2m}$ - 5$^{2m-1}$.12+......+12$^{2m}$)
Có 12$\vdots$3=> B$\equiv$ 5$^{2m}$(mod 3)
Có 5$^{2m}$=25$^{m}$$\equiv$1(mod 3)
=>B$\equiv$ 1 (mod 3)
mà 17$\equiv$ 2(mod 3)
=> A$\equiv$ 2(mod 3)
=>A=3k +2 =>A không phải số chính phương
=>p>2 thì Â không phải là số chính phương(**)
Từ (*); (**) => p=2 là giá trị duy nhất tìm được

D-B=1.5h
E=10+1=11
F=0
S=79.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 20:03

[NLT]

MR3: Mở rộng với số biến:
Tìm các số nguyên tố p,q thỏa ${5^p} + {12^q}$ là số chính phương.
GIẢI: Lời giải của bài này hoàn toàn tương tự bài của Kir nhưng theo mình thì không nên cho 2 số mũ bằng nhau ở 2 số, có vẻ hơi bị lộ liễu, thay p bằng q, tuy 2 cách giải hoàn toàn như nhau, nhưng có thể tránh khỏi sự lộ liễu của bài toán !
------
P/S: bài này khó chế quá

[nthoangcute]

Bổ đề:
Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
Chứng minh bổ đề:
Xét số chính phương đó là $m^2$
Nếu $m=10n$ thì $m^2$ có tận cùng là 0
Nếu $m=10n+1$ thì $m^2=10(10n^2+2n)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Nếu $m=10n+2$ thì $m^2=10(10n^2+4n)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+3$ thì $m^2=10(10n^2+6n)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+4$ thì $m^2=10(10n^2+8n+1)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+5$ thì $m^2=10(10n^2+10n+2)+5$ có chữ số tận cùng là 5
Nếu $m=10n+6$ thì $m^2=10(10n^2+12n+3)+6$ có chữ số tận cùng là 6
Nếu $m=10n+7$ thì $m^2=10(10n^2+14n+4)+9$ có chữ số tận cùng là 9
Nếu $m=10n+8$ thì $m^2=10(10n^2+16n+6)+4$ có chữ số tận cùng là 4
Nếu $m=10n+9$ thì $m^2=10(10n^2+18n+8)+1$ có chữ số tận cùng là 1
Tóm lại Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$
________________________________________________________
Ta có:
Vì $p$ là số nguyên tố nên ta xét các trường hợp:
+Nếu $p=2$ thì $5^p+12^p=169=13^2$ là số chính phương nên $p=2$ thỏa mãn đề bài
+Nếu $p>2$. Do $p$ là số nguyên tố nên $p$ là số nguyên dương lẻ và $p \geq 3$
Đặt $p=2k+1$ ($k$ là số nguyên dương)
Khi đó ta thấy:
$5^p-5=5^{2k+1}-5=5^{2k}.5-5=5(5^{2k}-1)$
Vì $5$ là số lẻ nên $5^{2k}$ cũng là số lẻ
Suy ra $5^{2k}-1$ là số chẵn.
Từ đó $5^p-5=5(5^{2k}-1)$ chia hết cho 10 (vì $(2,5)=1$) hay $5^p$ có chữ số tận cùng là 5 với mọi $p$ là số nguyên dương lẻ.

Ta lại có:
-Xét $k$ lẻ thì đặt $k=2t+1$. ($t$ là số nguyên dương)
Suy ra $p=2t+1=4t+3$.
Vậy $12^p-8=12^{4t+3}-8=12^{4t}.1728-8=8(216.12^{4t}-1)=8(216(12^{4t}-1)+215)$
Vì $12^{4t}-1=20736^t-1=20735(20736^{t-1}+20736^{t-2}+...+1)$
nên $12^{4t}-1$ chia hết cho 5, suy ra $216(12^{4t}-1)+215$ cũng chia hết cho 5
Do đó $12^p-8=8(216(12^{4t}-1)+215)$ chia hết cho 10 (vì $(5,2)=1$)
Suy ra $12^p$ có chữ số tận cùng là 8 với mọi $p=2k+1$ (với $k$ là số nguyên dương lẻ)
-Xét k chẵn thì đặt $k=2u$. ($u$ là số nguyên dương)
Suy ra $p=4u+1$.
Vậy $12^{p}-2=12^{4u+1}-2=12^{4u}.12-2=2(6.12^{4u}-1)=2(6.(12^{4u}-1)+5)$
Vì $12^{4u}-1=20736^u-1=20735(20736^{u-1}+20736^{u-2}+...+1)$
nên $12^{4u}-1$ chia hết cho 5, suy ra $2(6.(12^{4u}-1)+5)$ cũng chia hết cho 5
Do đó $12^p-2=2(6.(12^{4u}-1)+5)$ chia hết cho 10 (vì $(5,2)=1$)
Suy ra $12^p$ có chữ số tận cùng là 8 với mọi $p=2k+1$ (với $k$ là số nguyên dương chẵn)

Tóm lại: với mọi giá trị $p$ lẻ thì $12^p$ có chữ số tận cùng là $2$ hoặc $8$

Vậy $5^p+12^p$ có chữ số tận cùng là $3$ hoặc $7$.
Ta lại thấy số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là $0,1,4,5,6,9$ (theo bổ đề)
Suy ra $5^p+12^p$ không là số chính phương với $p$ lẻ
__________________________________________________________________
Vậy chỉ có $p=2$ thỏa mãn đề bài

Lời giải quá dài dòng. Dễ bị gạch nếu gặp phải giám khảo "khó tính" lúc trời nóng.
$MR1 \rightarrow 6; MR7 \rightarrow 10; MR11 \rightarrow 15$, mỗi "nhóm bà con" đó sẽ được coi là 1 mở rộng.
D-B=2.5h
E=10+1+1+1+1+1=15
F=7*10=70
S=160.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:28

[mituot03]

Cách 2: xét số dư cho 5
Với p =2=> 5$^{p}$+12$^{p}$= 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 13$^{2}$
=> p= 2 là một giá trị cần tìm.
Với p>2=> p= 2k+1 (p nguyên tố)(k $\in$ N* )
5$^{p}$ +12$^{p}$ = 5$^{2k+1}$ +12$^{2k+1}$ $\equiv$ 12$^{2k+1}$(mod 5)$\equiv$ 4$^{k}$.2(mod 5)$\equiv$ $\pm$1.2(mod 5) $\equiv$ $\pm$2(mod 5)
=> 5$^{p}$+12$^{p}$$\equiv$$\pm$ 2 (mod 5)
5m $\pm$ 2 có tận cùng là 2 và 7 không phải số chính phương
=> Với p>2 không có giá trị thoả mãn
Vậy p=2 là giá trị duy nhất tìm được

[cool hunter]

*Bổ đề: số chính phương chia 5 thì không có số dư là ±2.
C/m: xét $a^{2}$.
+) Nếu a=5k±1 thì a² =(5k±1)2 =5A ±1.
+) Nếu a=5k±2 thì a² =(5k±2)2 =5A + (±2)² = 5B +1
+) Nếu a=5k thì a² chia hết cho 5.
Trở lại bài toán:
Xét p lẻ:
Đặt $p=2k+1$ (k nguyên dương) thì:
$12^{2k+1}=12^{2k}.12$
Vì $12^{2k}$ là số chính phương, $12\equiv 2$ (mod 5) nên áp dụng bổ đề ta có:
$12^{2k}\equiv \pm 1$ (mod 5)
Lại có: $12\equiv 2$ (mod 5)
=> $12^{p} = 12^{2k+1}=12^{2k}.12 \equiv \pm 1.2 = \pm 2$ (mod 5)
Mà: $5^{p}\equiv 0$ (mod 5)
=> $5^{p}+12^{p}\equiv 0\pm 2 =\pm 2$ (mod 5)
=> $5^{p}+12^{p}$ không là số chính phương.
Do đó: p chẵn, mà p là số ngyuyên tố => $p=2$.
Thử lại $p=2$ thỏa mãn.
Vậy $p=2$
*Tổng quát:
Tìm số nguyên tố p sao cho: $b^{p}+a^{p} =c$, ( a,b,c tự nhiên) với a là một số mà mũ chẵn và mũ lẻ luôn chia số b với 2 số dư khác nhau; c là 1 số bất kì sao cho tìm đc nghiệm riêng

D-B=3h
E=10
F=0
S=75

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 20:08

[Mai Duc Khai]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.

Mình ngu số học quá

$5^{p}+12^{p}$

Do tìm $p$ là số nguyên tố nên xét $p=2$ ta thấy thỏa mãn đề bài: ${5^2} + {12^2} = {13^2}$

Xét $p > 2 \to p$ là số lẻ. Lại có: ${5^p} \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)$ và ${12^p} \vdots 3$
$\Rightarrow {5^p} + {12^p} \equiv 2\left( {\bmod 3} \right)$
Mà không có số chính phương nào mà đồng dư với 2 theo mod 3 nên với p>2 thì ko có số nguyên tố p nào thỏa mãn

Vậy với $p=2$ thì ${5^p} + {12^p}$ là số chính phương

P/s: Mình gà quá

Chưa chứng minh không tồn tại số chính phương chia 3 dư 2. MR của em là 1 bài toán khác.
D-B=3.2h
E=9
F=0
S=71.8

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2012 - 20:13

[minhtuyb]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.

Thời gian làm bài tính từ 19h23.

Bài làm của minhtuyb:
*Nhận xét: Số chính phương chia cho $5$ dư $0,1,4$. Thật vậy, với $n\in N$, ta có:
$$n\equiv 0\ (mod\ 5)\Rightarrow n^2\equiv 0\ (mod\ 5)$$
$$n\equiv 1\ (mod\ 5)\Rightarrow n^2\equiv 1\ (mod\ 5)$$
$$n\equiv 2\ (mod\ 5)\Rightarrow n^2\equiv 4\ (mod\ 5)$$
$$n\equiv 3\ (mod\ 5)\Rightarrow n^2\equiv 4\ (mod\ 5)$$
$$n\equiv 4\ (mod\ 5)\Rightarrow n^2\equiv 1\ (mod\ 5)$$
Vậy nhận xét được c.m

*Trở lại bài toán:
-Với $p=2\Rightarrow 5^p+12^p=169=13^2\ (True)$
-Với $p>2$. Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2 nên $\Rightarrow p=2k+1\ (k\in N^*)$. Ta có:
$5^p\vdots 5$
$12^p=12^{2k+1}\equiv 2^{2k+1}\equiv 2.4^k\equiv 2.(-1)^k\ (mod\ 5)$
+) Nếu $k$ chẵn thì $5^p+12^p\equiv 2.(-1)\equiv 3\ (mod\ 5)$
Áp dụng nhận xét suy ra $5^p+12^p$ không là số chính phương
+) Nếu $k$ lẻ thì $5^p+12^p\equiv 2.1\equiv 2\ (mod\ 5)$
Áp dụng nhận xét suy ra $5^p+12^p$ không là số chính phương
Vậy với $p>2$ thì $5^p+12^p$ không là số chính phương
K/L: $p=2$ là giá trị của $p$ thỏa mãn điều kiện bài toán

MR1 không tính. MR2,MR3 sao không thấy chứng minh?
D-B=3.4h
E=10
F=0
S=74.7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:31

[minhtuyb]

MR 1: Tìm tất cả các số nguyên dương p sao cho: $5^{p}+12^{p}$ là số chính phương.
Em xin trích lại toàn bộ bài anh xusinst :

-Với $p=0;1;2$, thấy p=2 thỏa mãn
$\bullet $Xét p>2. Giả sử p=2k+1 là số lẻ.
Ta có: $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} \equiv 2^{2k + 1} \equiv 2.4^k \equiv 2\left( { - 1} \right)^k \,\left( {\bmod 5} \right)$.
Như thế $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ chia 5 sẽ cho số dư là 2 hoặc 3.
Mặt khác một số chính phương chia 5 có số dư là 0,1,4. Suy ra $5^{2k + 1} + 12^{2k + 1} $ không thể là số chính phương.
$\bullet $Xét p=2k là số chẵn lớn hơn 2. Giả sử $5^{2k} + 12^{2k} = m^2 \,\,,\,\,k \ge 2$.
Khi đó: $5^{2k} = m^2 - 12^{2k} = \left( {m - 12^k } \right)\left( {m + 12^k } \right)$.
Ta thấy 5 là ước của VT. Nếu 5 là ước của cả hai thừa số ${m - 12^k }$ và ${m + 12^k }$ thì 5 là ước của $2.12^k $. Điều này mâu thuẫn vì $2.12^k $ không chứa ước là 5. Suy ra phải có $m - 12^k = 1 \Rightarrow m = 12^k + 1$ và như thế $5^{2k} = 2.12^k + 1 \Rightarrow 2^{2k + 1} .3^k = \left( {5^k - 1} \right)\left( {5^k + 1} \right)$.
Nếu k lẻ thì do $5^k + 1 \vdots 3$ và $5^k - 1$ không chia hết cho 3 nên $5^k + 1 = 2.3^k $. Từ đó: $4^k = 5^k -1$. Đẳng thức này không thể đúng với $k \ge 2$.
Tương tự, nếu k chẵn thì $5^k + 1$ không chia hết cho 3 và $5^k - 1 \vdots 3$. Do đó $5^k - 1 = 2.3^k $.
Như thế $4^k = 5^k +1$, đẳng thức này cũng không đúng với $k \ge 2$.
Vậy giá trị duy nhất thỏa mãn là p=2.

[NLT]

Cách giải thứ 2 của Princeofmathematics:
Bổ đề: Với mọi số a lẻ, ta có: ${2^a}$ có tận cùng là 2 hoặc 8.
CM: Vì a lẻ nên a có dạng 4k+1 hoặc 4k+3. (k tự nhiên).
TH1: a=4k+1 thì ${2^a} = {2^{4k + 1}} = {16^k}.2$
Lại có: ${16^k} \equiv {6^k}$.
Nếu k=0 thì ${6^k}$=1 nên ${16^k}$ tận cùng là 1
Nếu k>0 thì ${6^k}$ tận cùng là 6 nên${16^k}$tận cùng là 6.
Do đó, với k tự nhiên thì ${16^k}$ tận cùng là 1 hoặc 6. Cả 2 đều dẫn đến $ {16^k}.2 $ tận cùng bằng 2. Vậy khi a=4k+1 thì ${2^a}$ có tận cùng là 2.
TH2: a=4k+3 thì ${2^a} = {2^{4k + 3}} = {16^k}.8$.
Từ trường hợp 1 ta chứng minh được với k tự nhiên thì ${16^k}$ tận cùng là 1 hoặc 6. Cả 2 đều dẫn đến $ {16^k}.8 $ tận cùng bằng 8. Vậy khi a=4k+3 thì ${2^a}$ có tận cùng là 8.
Từ TH1 và TH2 ta cm được bổ đề.
-----------------
Trở lại bài toán:
Dễ thấy p=2 thỏa đề ra.
Nếu p>2 thì p là số nguyên tố suy ra p lẻ.
=>${5^p}$ tận cùng là 5.
Và ${12^p} \equiv {2^p}(\bmod 10)$ và theo bổ đề, lại có p lẻ nên ta suy ra ${2^p}$ chỉ có thể tận cùng bằng 2 hoặc 8, do đó ${12^p}$ cũng chỉ có thể tận cùng bằng 2 hoặc 8.
+ Nếu ${12^p}$ tận cùng bằng 2 thì ${5^p}$+${12^p}$ tận cùng bằng 7
+ Nếu ${12^p}$ tận cùng bằng 8 thì ${5^p}$+${12^p}$ tận cùng bằng 3
Mặt khác, số chính phương không có tận cùng là 2;3;7;8 nên ta suy ra với p>2 thì không có p nguyên tố thỏa đề bài.
Vậy chỉ có 1 số nguyên tố duy nhất p=2 thỏa mãn đề bài .
-------------------

[phantomladyvskaitokid]

mở rộng

Tìm số nguyên dương p sao cho $5^p+12^p= a^2 (a\in Z^+)$

G:

tương tự như trên ta c/m đc p phải chẵn. đặt $p=2h(h\in Z^+)$

$\Rightarrow (12^h)^2+(5^h)^2=a^2$

($(12^h, 5^h, a)$ là 1 bộ 3 số nguyên thuỷ pitago nên ta có $\left\{\begin{matrix} 12^h=2dn & & \\ 5^h=d^2-n^2 & & \end{matrix}\right.( d, n \in Z^+; d>n)$

$12^h=2dn \Rightarrow 2n$ ko chia hết cho 5 $ \Rightarrow$ d+n & d-n ko cùng số dư khi chia cho 5

mà $(d-n)(d+n)=5^h; d-n<d+n$ nên $d-n=1$

suy ra $12^h=2n(n+1)$

$\Leftrightarrow n(n+1)=2^{2h-1}.3^h$

mặt khác dễ thấy $(n, n+1)=1$ nên

$\left\{\begin{matrix} n=3^h & & \\ n+1=2^{2h-1} & & \end{matrix}\right.$

hoặc $\left\{\begin{matrix} n+1=3^h & & \\ n=2^{2h-1} & & \end{matrix}\right.$

TH1: $2^{2h-1}-1=3^h$

$2\equiv -1(mod3)\Rightarrow 2^{2h-1}\equiv -1(mod3)\Rightarrow 3^h \equiv 1 (mod3)\Rightarrow h=0$ (L)

TH2: $2^{2h-1}=3^h-1$

* $h=1 \Rightarrow k=2$ (t/m bt)

* $h>1 \Rightarrow 2^{2h-1}\vdots 4\Rightarrow (3^h-1)\vdots 4 \Rightarrow h\vdots 2$

đặt $h=2k(k\in Z^+)$ $\Rightarrow (3^k-1)(3^k+1)=2^{4k-1}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^k-1=2^x & & \\ 3^k+1=2^y & & \end{matrix}\right.( x, y\in Z^+, x<y)$

$\Rightarrow 2^y-2^x=2$

$\Leftrightarrow 2^x(2^{y-x}-1)=2$

đến đây là ra x=1, y=2 => k=1=> h=2 (thử lại k t/m)

vậy p=2

[NLT]

Lời giải cho MR3:
Dễ dàng cm được, khi p>2 thì không tồn tại p, q thỏa đề ra (tương tự như bài MR2 và bài toán của Kir)
Về trường hợp p=2, ta có:
$25 + {12^q} = {m^2}\left( {m \in N*} \right)$$ \Rightarrow {12^q} = \left( {m + 5} \right)\left( {m - 5} \right)$
Ta có, trong 2 số m+5 và m-5 thì ko có chung ước số 3
Thật vậy, giả sử m+5 và m-5 đều chia hết cho 3 thì 10 chia hết cho 3(vô lí).
Do vậy, suy ra trong m+5 và m-5 chỉ có 1 số chia hết cho 3. Mà ${12^q} = \left( {m + 5} \right)\left( {m - 5} \right)$ nên số không chia hết cho 3 trong 2 số m+5 và m-5 sẽ có dạng ${2^a}$ và số còn lại sẽ là${2^{2q - a}}{.3^q}$(a nguyên dương). Vì m+5 > m-5 nên:
$\left\{ \begin{array}{l}
m - 5 = {2^a} \\
m + 5 = {2^{2q - a}}{.3^q} \\
\end{array} \right.$
Suy ra: ${2^{2q - a}}{.3^q} - {2^a} = 10$
$ \Rightarrow {2^a}\left( {{2^{2q - 2a}}{{.3}^q} - 1} \right) = 10$
Đưa về pt tích rồi, công việc còn lại là đơn giản rồi!
-----------
P/S: Trên đây chỉ là ý tưởng của em thôi, em chỉ mới mở rộng được như thế này, hì