Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn $\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}$ là số nguyên
#1
Posted 15-05-2012 - 11:19
#2
Posted 15-05-2012 - 11:24
Cho x, y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn $\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}$ là số nguyên. Chứng minh rằng $x^2 y^{22} -1 \vdots x+1$
Bài này tương tự bài VMO 2007 chăng?
[VMO 2007] Cho $x \ne - 1;y \ne - 1$ là các số nguyên thỏa mãn $\frac{{{x^4} - 1}}{{y + 1}} + \frac{{{y^4} - 1}}{{x + 1}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ${x^4}{y^{44}} - 1$ chia hết cho $x+1$.
---
#3
Posted 15-05-2012 - 13:28
Đặt $\frac{y^2-1}{x+1} = \frac{m}{n}$ với m;n tự nhiên và (m;n)=1
Thì ta có: $n(y^2-1)=m(x+1) \Rightarrow n(y^2-1)(x-1)=m(x^2-1) \Leftrightarrow \frac{x^2-1}{y+1}=\frac{n(y-1)(x+1)}{m}$
Theo bài ra,ta có:
$A=\frac{m}{n}+\frac{n(y-1)(x+1)}{m} =\frac{m^2+n^2(y-1)(x+1)}{mn} \in Z \Rightarrow m^2+n^2(y-1)(x+1) \vdots n \Leftrightarrow m^2 \vdots n$(1)
Tuy nhiên, (m;n) =1 nên từ (1) ta suy ra được n=1
n=1 thì $\frac{y^2-1}{x+1} \in Z $ hay $y^2-1 \vdots x+1$
Ta có:
$x^2y^{22}-1=x^2(y^22-1)+(x^2-1) \vdots x+1$
(vì $y^{22}-1 \vdots y^2-1 \vdots x+1$)
Vậy ta đc đpcm
@nguyenta98: Thật vậy ư? Đây chỉ là hệ quả của bài này http://diendantoanho...showtopic=70776, Bài số 2b
Edited by nguyenta98, 15-05-2012 - 18:14.
- perfectstrong and davildark like this
#4
Posted 15-05-2012 - 22:09
Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?Bài này tương tự bài VMO 2007 chăng?
[VMO 2007] Cho $x \ne - 1;y \ne - 1$ là các số nguyên thỏa mãn $\frac{{{x^4} - 1}}{{y + 1}} + \frac{{{y^4} - 1}}{{x + 1}}$ là số nguyên. Chứng minh rằng ${x^4}{y^{44}} - 1$ chia hết cho $x+1$.
---
--------------
Edited by Nguyen Lam Thinh, 15-05-2012 - 22:12.
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#5
Posted 16-05-2012 - 00:04
Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?
--------------
Đáp án có đầy em à. Anh không đủ trình để chơi VMO
---
#6
Posted 16-05-2012 - 06:43
Anh đưa link đáp án cho em xem với, em search mà ko cóĐáp án có đầy em à. Anh không đủ trình để chơi VMO
---
-----------------
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#7
Posted 16-05-2012 - 10:56
Anh Thành - $xusinst$ - giải giúp bài VMO 2007 được không ạ ?
--------------
sao ko giải tương tự bài kia được hả bạn ??
Cũng là hằng đẳng thức mà : $x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2-1)$
#8
Posted 16-05-2012 - 11:09
ko, mình giải theo cách của bạn đc rồi, mình muốn thêm cách nữa bạn à, mình nghĩ có thể đáp án cũng có thể có cách khác, hì, phong phú thêm cách giải cho một bài toán đó màsao ko giải tương tự bài kia được hả bạn ??
Cũng là hằng đẳng thức mà : $x^4-1 = (x-1)(x+1)(x^2-1)$
--------------
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#9
Posted 17-05-2012 - 02:06
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users