Chủ đề bị khóa
Cách 1 (của lớp 9):
Giả sử $BF$ cắt đường tòn ngoại tiếp tam giác $ACF$ tại điểm thứ hai là $H$
Giả sử $CE$ cắt đường tòn ngoại tiếp tam giác $ABE$ tại điểm thứ hai là $G$
Khi đó ta có tứ giác $AFCH$ nội tiếp, tứ giác $AEBG$ nội tiếp
Vì tứ giác $AFCH$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{BHC}=\widehat{FAC}$ (1)
Vì $AF$ là phân giác $\widehat{BAC}$ (theo giả thiết)
Suy ra $\widehat{FAC}=\widehat{BAF}$ (2)
Vì tứ giác $AEBG$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{BAF}=\widehat{BGC}$ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được $\widehat{BHC}=\widehat{BGC}$
Xét tứ giác $BCHG$ có $\widehat{BHC}=\widehat{BGC}$ (chứng minh trên)
Suy ra tứ giác $BCHG$ nội tiếp
Suy ra $\widehat{HGC}=\widehat{HBC}$
Mà $\widehat{HBC}=\widehat{ABE}$ (theo giả thiết)
và $\widehat{ABE}=\widehat{AGC}$ (do tứ giác $AEBG$ nội tiếp)
Suy ra $\widehat{HGC}=\widehat{AGC}$
Mà $H$ và $A$ cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ $GC$
Suy ra $G,A,H$ thẳng hàng.
Khi đó $\widehat{BCE}=\widehat{BCG}=\widehat{BHG}$ (do tứ giác $BCHG$ nội tiếp)
Ta lại có $G,A,H$ thẳng hàng (chứng minh trên) nên $\widehat{BHG}=\widehat{BHA}$
Vì tứ giác $AHCF$ nội tiếp nên $\widehat{BHA}=\widehat{ACF}$
Từ đó suy ra $\widehat{ACF}=\widehat{BCE}$
+Nếu $E$ trùng với $F$ thì ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCE}=\widehat{BCF}$
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
+Nếu $E$ nằm giữa $A$ và $F$ thì ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACF}-\widehat{FCE}=\widehat{BCE}-\widehat{FCE}=\widehat{BCF}$
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
+Nếu $F$ nằm giữa $A$ và $E$ thì ta có: $\widehat{ACE}=\widehat{ACF}+\widehat{FCE}=\widehat{BCE}+\widehat{FCE}=\widehat{BCF}$
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
Tóm lại $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$ (đpcm)
_____________________________________________________________________________
Cách 2: (của lớp 7,8)
<Em nói trước là em trình bày bài hơi dài để không sai cái "vụn vặt" bởi tính em hay cẩu thả, mong anh tha thứ>
Gọi $H,I$ lần lượt là điểm đối xứng của $E$ qua đường thẳng $AB, AC.$
Gọi $K$ là điểm đối xứng của $F$ qua đường thẳng $BC.$
Khi đó ta có $AB$ là đường trung trực của $HE$ (vì $H$ và $E$ đối xứng với nhau qua $AB$)
Suy ra $AH=AE, BH=BE, \widehat{ABH}=\widehat{ABE}, \widehat{BAH}=\widehat{BAE}$
Ta lại có $\widehat{BAE}=\frac{\widehat{BAC}}{2}$ (vì $ AD$ là phân giác $\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{HAE}=\widehat{BAC}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được $AI=AE, CI=CE, \widehat{ACI}=\widehat{ACE}, \widehat{IAE}=\widehat{BAC}$
Từ đó suy ra $AH=AI (=AE), \widehat{HAE}=\widehat{IAE}$
Xét $\Delta$HAE và $\Delta$IAE có:
$AH=AI$ (theo chứng minh ở trên)
$\widehat{HAE}=\widehat{IAE}$ (theo chứng minh ở trên)
$AE$ là cạnh chung
Suy ra $\Delta$HAE = $\Delta$IAE (c.g.c)
Suy ra $HE=EI$ (hai cạnh tương ứng), mà $HA=AI$
Suy ra $H$ và $I$ đối cứng nhau qua $AE$
Hay $H$ và $I$ đối cứng nhau qua $AF$
Suy ra $HF=FI$
Vì $F$ và $K$ đối xứng nhau qua $BC$, suy ra $BC$ là đường trung trực của $FK.$
Suy ra $FB=BK, FC=CK, \widehat{FBC}=\widehat{KBC}, \widehat{FCB}=\widehat{KCB}$
Ta thấy: $\widehat{HBF}=\widehat{EBK}$
Thật vậy:
+Nếu $E$ trùng với $F$ thì $\widehat{HBF}=\widehat{HBE}=2.\widehat{ABE}=2.\widehat{CBF}=\widehat{FBK}=\widehat{EBK}$ (vì theo chứng minh ở trên)
+Nếu $E$ nằm giữa $A$ và $F$ thì:
$\widehat{HBF}=\widehat{HBE}+\widehat{EBF}=2.\widehat{ABE}+\widehat{EBF}$
(vì $\widehat{HBA}=\widehat{EBA}$ theo chứng minh trên)
$\widehat{EBK}=\widehat{KBF}+\widehat{EBF}=2.\widehat{CBF}+\widehat{EBF}$
(vì $\widehat{CBK}=\widehat{CBF}$ theo chứng minh trên)
Mà $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}$ (theo giả thiết)
Suy ra $\widehat{HBF}=\widehat{EBK}$
+Nếu $F$ nằm giữa $A$ và $E$ thì:
$\widehat{HBF}=\widehat{HBE}-\widehat{EBF}=2.\widehat{ABE}-\widehat{EBF}$
(vì $\widehat{HBA}=\widehat{EBA}$ theo chứng minh trên)
$\widehat{EBK}=\widehat{KBF}-\widehat{EBF}=2.\widehat{CBF}-\widehat{EBF}$
(vì $\widehat{CBK}=\widehat{CBF}$ theo chứng minh trên)
Mà $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}$ (theo giả thiết)
Suy ra $\widehat{HBF}=\widehat{EBK}$
Tóm lại, $\widehat{HBF}=\widehat{EBK}$.
Ta có:
Xét $\Delta$HBF và $\Delta$EBK có:
$BH=BE$ (theo chứng minh trên)
$\widehat{HBF}=\widehat{EBK}$ (theo chứng minh trên)
$BF=BK$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $\Delta$HBF = $\Delta$EBK (c.g.c)
Suy ra $EK=HF$, mà $HF=IF$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $EK=IF (=HF)$
Xét $\Delta$ICF và $\Delta$ECK có:
$IC=EC$ (theo chứng minh trên)
$EI=EK$ (theo chứng minh trên)
$FC=CK$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $\Delta$ICF = $\Delta$ECK (c.g.c)
Suy ra $\widehat{ICF}=\widehat{ECK}$ (hai góc tương ứng)
+Nếu $E$ trùng với $F$ thì ta thấy:
$\widehat{ABE}=\widehat{CBF}=\widehat{CBE}$, mà $E$ nằm trong tam giác $ABC, AE$ là phân giác $\widehat{BAC}$
nên $E$ là giao 3 đường phân giác trong của tam giác $ABC$
Suy ra $CE$ là phân giác của $\widehat{ACB}$
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCE}=\widehat{BCF}$
+Nếu $E$ nằm giữa $A$ và $F$ thì:
$\widehat{ICF}=\widehat{ICE}+\widehat{ECF}=2.\widehat{ACE}+\widehat{ECF}$ (vì $\widehat{ICA}=\widehat{ACE}$ theo chứng minh trên)
$\widehat{ECK}=\widehat{FCK}+\widehat{ECF}=2.\widehat{BCF}+\widehat{ECF}$ (vì $\widehat{FCB}=\widehat{BCK}$ theo chứng minh trên)
Mà $\widehat{ICF}=\widehat{ECK}$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
+Nếu $F$ nằm giữa $A$ và $E$ thì:
$\widehat{ICF}=\widehat{ICE}-\widehat{ECF}=2.\widehat{ACE}-\widehat{ECF}$ (vì $\widehat{ICA}=\widehat{ACE}$ theo chứng minh trên)
$\widehat{ECK}=\widehat{FCK}-\widehat{ECF}=2.\widehat{BCF}-\widehat{ECF}$ (vì $\widehat{FCB}=\widehat{BCK}$ theo chứng minh trên)
Mà $\widehat{ICF}=\widehat{ECK}$ (theo chứng minh trên)
Suy ra $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
Tóm lại, ta luôn có $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$ (đpcm)
