Những bài toán chưa có lời giải trong Box Bất đẳng thức và cực trị
#1
Đã gửi 24-05-2012 - 08:26
Quy định:
1. Tuyệt đối không giải ở đây, các bạn click vào biểu tượng $\boxed{\text{số thự tự}}$ để đến topic gốc và giải ở đó.
2. Sau khi đã có lời giải, các bạn vui lòng gửi bài viết với nội dung Bài toán số ... đã có lời giải để ĐHV có thể cập nhật lại list bài toán mới.
3. Tuyệt đối không spam.
---
- kim su ro, SuperReshiram, Viet Hoang 99 và 5 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 24-05-2012 - 08:39
Phổ biến
$\boxed{1}$ Cho $a,b,c >0$. Chứng minh rằng: $\sum {\frac{{ab}}{{a + 2{a^2} + {a^3} + 2{b^4} + 2{c^8} + 10}} < \frac{1}{4}} $
$\boxed{2}$ Cho 3 số dương $x,y,z$ thoả mãn: $x+y+z = \frac{xy}{z}$. Chứng minh rằng: $(y+z)^4+ (x+z)^4 < (x+y)^4$
$\boxed{3}$ Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in \mathbb{N}$ ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$
$\boxed{4}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoã mãn $abc=1$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{3}{2}(a+b+c-1)$
$\boxed{5}$ Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $0 \le a \le c \le x \le d \le b$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$T = \sqrt {\left( {x - a} \right)\left( {b - x} \right)} + \sqrt {\left( {x - c} \right)\left( {d - x} \right)} $$
$\boxed{6}$ Cho các số $x,y,z$ không âm thoả mãn: $x+y+z=1$. Chứng minh BĐT sau: $\sqrt{x+y^{2}}+\sqrt{y+z^{2}}+\sqrt{z+x^{2}}\geq 2.$
$\boxed{7}$ Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$$
$\boxed{8}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left |\dfrac{a^3-b^3}{a+b}+\dfrac{b^3-c^3}{b+c}+\dfrac{c^3-a^3}{c+a}\right |\le \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{4}$$
$\boxed{9}$ Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{x}{3^x}+\dfrac{y}{3^y}+\dfrac{z}{3^z}\le \dfrac{1}{9}\left (3^{x+y}+3^{y+z}+3^{z+x}\right )$$
$\boxed{10}$ Cho $a,b,c,d>0$ và $abcd=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$$
$\boxed{11}$ (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c >0, abc=1$. Chứng minh răng: $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}.(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})$$
$\boxed{12}$ (nthd-01-05-2006):
Cho $a, b, c \geq 0$ sao cho:
$a+b \leq c+1$
$b+c \leq a+1$
$c+a \leq b+1$
Chứng minh: $A^2+b^2+c^2 \leq 2abc+1$
Bài 13. (caothujjj-02-08-2007)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương dương. Chứng minh rằng: $$\sum \dfrac{a}{(b^2+c^2)} \geq \sum \dfrac{4}{5(a+b)}$$
Bài 14. (number_zero-12-08-2007)
Cho $a+x=b+y=c+z=k$. CMR: ${ ay+bz+cx} \leq k^{2} $
Bài 15. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $xyz=1$ , CMR $\sum \dfrac{x}{z^3(x+11z)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x)$
Bài 16. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $xyz=1$ . CMR $\sum \dfrac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))} +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z)$
Bài 17. (hoang tuan anh -17-08-2007)
Cho $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. CMR $\sum \dfrac{x^4}{x+7y} > \dfrac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$
Bài 18. (chien than -03-11-2007)
$a,b,c,d >0. a+b+c+d=4$. CMR:$ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)+4abcd \geq 16$
Bài 19. (thanhbinh214 -07-11-2007)
Cho dãy {$x_{n} $}được xác định như sau:
$x_{1} \geq \dfrac{3}{4}; x_{n+1}^{4}+3 =4x_{n}$. CMR $2x_{n+5}^{4}+3 \leq x_{n-5}^{4} +4 \sqrt[4]{4x_{n-5}-3} $
Bài 20. (chien than -22-09-2007)
Cho$ x;y \in R;x>0$ thỏa mãn $y(y+1) \leq (x+1)^2$. CMR $y(y-1) \leq x^2$
Bài 21. (1111111 -12-11-2007)
Cho A,B,C là 3 góc nhọn của 1 tam giác. $CMR: (3+cosA)(3+cosB)(3+cosC)>32$
Bài 22. (hoang tuan anh -06-01-2008)
Tìm min của $y=\dfrac{2|x|}{x^2+2}+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|+|\dfrac{x}{x^2+2}-2|+|\dfrac{6x}{x^2+2}+1|$
Bài 23. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $x^{2}.( x^{2} +2 y^{2}-3)+( y^{2} -2) ^{2} =1$ tim min, max : $A= x^{2} + y^{2} $
Bài 24. (rangcamap_94 -04-04-2008)
Cho $x,y$ thỏa mãn $P= x^{2} +2xy+7(x+y)+2 y^{2} +10=0$. Tìm min, max $A= x+y+1 $
Bài 25. (tranquocluat_ht -06-04-2008)
Cho $a,b,c>0$. CMR: $\frac{a}{b+c^2}+\frac{b}{c+a^2}+\frac{c}{ab^2} \geq \frac{9}{3+a+b+c}$
Bài 26. (Sk8ter-boi 29-05-2008)
chứng minh rằng trong 5 số thực bất kỳ khác nhau thì tồn tại 2 số thỏa mãn BĐT $|ab+1| > |a-b|$
Bài 27. (anh qua -25-12-2008)
Cho x,y thỏa mãn :$x^2=a, y^2=b$. Biết:$(a-b+1)^2 +4ab-a-b=0$. Tìm min, max của $a+b$
Bài 28. (alextb -04-11-2008)
Cho $a,b,c > 0 $ và $a+b+c = 1$ ,tìm min của: $P= ab + 2bc + 2ca $
Bài 29. (sieuthamtu_sieudaochit -02-05-2009)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả $\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\ge 3$
Tìm GTNN $P=\dfrac{a}{1+a+bc}+\dfrac{b}{1+b+ca}+\dfrac{c}{1+c+ab}$
Bài 30. (cvp -21-06-2009)
Cho x,y,z, a,b,c là các số thực dương bất kì với x+y+z=1.Chứng minh rằng:
$$ax + by + cz + 2\sqrt {\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \le a + b + c$$
Bài 31. (frazier -30-06-2009)
Chứng minh rằng, nếu các số dương $x, y$ thỏa mãn các bất đẳng thức $x + y > 2$ và $x^2 + y^2 < 4$ thì $xy > 1$
Bài 32. (frazier -30-06-2009)
Tìm GTNN của biểu thức: $\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{a^2 + b^2}{ab} $
Bài33. (pth_tdn -19-07-2009)
Tìm max của $P=xy+2yz+xz$ biết $x \geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$
Bài 34. (ncc_3tc -30-08-2009)
Tìm min: $ \dfrac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}+...+a_{x}} + \dfrac{2a_{2}}{a_{1}+a_{3}+...a_{x}} +...+ \dfrac{xa_{x}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{x-1}}$
Với $ a_{1}, a_{2},...,a_{x}$ là các số thực dương
Bài 35. (shinichiconan1601 -02-09-2009)
Cho $a;b;c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a.b.c+6.a+3.b+2.c=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=$a.b.c.(a^2+3).(b^2+12).(c^2+27)$
Bài 36. (Đỗ Quang Duy -03-10-2009)
Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau: $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Bài 37. (abstract -20-12-2009)
Cho a,b>0 và $2 a^{2} + b^{2} =1$. Cmr: $(7+x)a+(5+x)b \geq (9+x)ab+(3+x)$ với $x=3 \sqrt{3}$
Bài 38. (abstract -02-02-2010)
Cho $a,b,c>0,a+b+c=3$. CMR $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq a^{2} b^{2} c^{2} $
Bài 39. (1414141 -22-02-2010)
$a,b,c$ dương và $n$ nguyên dương . Chứng minh
$$\dfrac{ab^n}{c^n(a+c)}+\dfrac{bc^n}{a^n(a+b)} + \dfrac{ca^n}{b^n(c+b)} \ge \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} $$
Bài 40. (Chung Chung -10-10-2011)
Tìm min của $x + \dfrac{11}{2x} + \sqrt{4(\dfrac{7}{x^{2}} + 1)}$
-----
P/S: Những bài màu xanh là đã có lời giải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 16-08-2015 - 09:41
- Ispectorgadget, le_hoang1995, L Lawliet và 27 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-09-2012 - 10:49
#4
Đã gửi 30-03-2013 - 20:43
sao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?
Em cũng vậy,không tài nào vào được@
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#5
Đã gửi 12-06-2013 - 22:18
bài này quá đơn giản, nhưng chắc do sự nhầm lẫn của mod hoặc hệ thống nên bị lỗisao mình ấn vào bài 32 mà bị lỗi?
- Khuat Dang Duong yêu thích
$$(x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0$$
$$x^{2}+2(\frac{3}{5}\sqrt[3]{x^{2}}-y)^{2}-1=0$$
$$x^{2}+(y-\sqrt{|x|})^{2}=3$$
$$\left | y-\left | x \right | \right |-\sqrt{4-x^{2}}=0$$
#6
Đã gửi 15-12-2014 - 23:15
ủa mình làm dc bài 35 mà nó không hiện lên màu xanh nhỉ
#7
Đã gửi 09-05-2015 - 21:39
bài 32 sao lại bị lỗi
Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do
#8
Đã gửi 22-07-2015 - 14:17
Bài toán số 30 đã có lời giải
CHUẨN THÌ LIKE SAI THÌ SỬA
Sống là để cống hiến
#9
Đã gửi 03-10-2015 - 16:47
bài 18 em chứng minh bằng dồn biến
#10
Đã gửi 03-10-2015 - 21:16
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+zx=xyz$
Chứng minh rằng:
$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 01-10-2016 - 22:10
#11
Đã gửi 30-09-2016 - 21:26
Mọi ng giúp mik bài này nha nha!!!!!!
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz
Chứng minh rằng:
$\frac{x^{2}}{x+yz}+\frac{y^{2}}{y+zx}+\frac{z^{2}}{z+xy}\geqslant \frac{1}{4}.(x+y+z)$
Ta có: $\frac{x^{2}}{x+yz}$=}$\frac{x^{3}}{x^{2}+xyz}$=$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$
chứng minh tg tự =>A=$\frac{x^{2}}{x+yz}$+$\frac{y^{2}}{y+zx}$+$\frac{z^{2}}{z+xy}$=$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$+$\frac{y^{3}}{(x+y)(y+z)}$+$\frac{z^{3}}{(z+y)(x+z)}$
Lại có:
$\frac{x^{3}}{(x+y)(x+z)}$+$\frac{x+z}{8}$+$\frac{x+y}{8}$$\geqslant$3.$\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8.8}}$=$\frac{3x}{4}$
CM tg tự=>A$\geqslant$$\frac{3}{4}(x+y+z)$- $\frac{1}{2}(x+y+z)$= $\frac{x+y+z}{4}$
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lephuonganh244: 30-09-2016 - 21:33
- Kagome yêu thích
#12
Đã gửi 08-01-2017 - 09:18
Bài 31. (frazier -30-06-2009)
Chứng minh rằng, nếu các số dương x,yx,y thỏa mãn các bất đẳng thức x+y>2x+y>2 và x2+y2<4x2+y2<4 thì xy>1xy>1
Vào đường link thì bị lỗi:
Xin lỗi, chúng tôi không tìm thấy!Không xác định được chủ đề bạn cần xem.
- ms127 yêu thích
#13
Đã gửi 25-06-2019 - 21:25
Bài toán số 4 đã có lời giải:
Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ ; $y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}}$ ; $z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:
$a=\sqrt[3]{a^{3}}=\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=x^{2}y$ ; $b=y^{2}z$ ; $c=z^{2}x$ và $xyz=1$ .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq \frac{3}{2}(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$ hay
$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do $xyz=1$
Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì
$x(y-z)(z-x)\geq0$ hay
$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$
$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$
Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$
Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với
$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 25-06-2019 - 21:32
#14
Đã gửi 03-07-2019 - 23:17
giúp mình với
Cho a,b,c>0 cmr:
$\sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} + \sqrt{\frac{a+b}{c}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pewnoy: 03-07-2019 - 23:22
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh