Chủ đề này có 31 trả lời

[Cao Xuân Huy]

Ta công nhận bđt CBS và AM-GM cho $n$ số dương ta có mở rộng sau:
Cho $x_1;x_2;...x_n$ là các tham số dương của hệ phương trình nghiệm dương $a_1;a_2;...;a_n$ sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = {x_1}{x_2}...{x_n} \textbf{ (1)}\\
\sqrt {{a_1} + {a_2}} + \sqrt {{a_2} + {a_3}} + ... + \sqrt {{a_{n - 1}} + {a_n}} + \sqrt {{a_n} + {a_1}} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^{n - 2}} .\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \textbf{ (2)}
\end{array} \right.\]
Lời giải:
\[(1) \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{x_2}{x_3}...{x_n}}} + \frac{{{a_2}}}{{{x_1}{x_3}...{x_n}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{x_1}{x_2}...{x_{n - 1}}}} = 1\]
Đặt: ${m_i} = \frac{{{a_i}{x_i}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$ với $i = \overline {1;n} $ thì $m_1+m_2+...+m_n=1$
Suy ra:
\[V{T_{(2)}} = \sqrt {{x_3}{x_4}...{x_n}\left( {{m_1}{x_2} + {m_2}{x_1}} \right)} + \sqrt {{x_1}{x_4}...{x_n}\left( {{m_2}{x_3} + {m_3}{x_2}} \right)} + ... + \sqrt {{x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}\left( {{m_n}{x_1} + {m_1}{x_n}} \right)} \]
\[ \le \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{m_1}({x_n} + {x_2}) + {m_2}({x_1} + {x_3}) + ... + {m_n}({x_{n - 1}} + {x_1})} \right]} \]
\[ < \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right]} \textbf{ (3)} \]
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\[{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}} \le {x_1}^{n - 2} + {x_2}^{n - 2} + ... + {x_n}^{n - 2}\]
Từ đó thay vào $(3)$ ta được $V{T_{(2)}} < V{P_{(2)}}$
Vậy kết luận hệ vô nghiệm dương.

Mở rộng này chỉ được 6 đ.
Viết sai từ chỗ này

\[ \le \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{m_1}({x_n} + {x_2}) + {m_2}({x_1} + {x_3}) + ... + {m_n}({x_{n - 1}} + {x_1})} \right]} \]

Và cần phải viết rõ chỗ này:

Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\[{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}} \le {x_1}^{n - 2} + {x_2}^{n - 2} + ... + {x_n}^{n - 2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 11:31

[NLT]

MR8: giải phương trình với ${a_i}$ là ẩn, ${x_i}$ là tham số;${a_i};{x_i} > 0$; $i = \overrightarrow {1,n} $, n là số tự nhiên không nhỏ hơn 3.

$\left\{ \begin{array}{l}
{{\rm{a}}_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_2}{x_2} = {x_1}{x_2}...{x_n} \\
\sqrt[{n - 1}]{{{a_1} + {a_2}}} + \sqrt[{n - 1}]{{{a_2} + {a_3}}} + ... + \sqrt[{n - 1}]{{{a_{n - 1}} + {a_n}}} = {x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \\
\end{array} \right.$
Lời giải:
Đặt: ${a_1} = {x_2}{x_3}...{x_n}{m_1};{a_2} = {x_3}{x_4}...{x_1}{m_2};...;{a_n} = {x_1}{x_2}...{x_{n - 1}}{m_n}$
$ \Rightarrow {m_i} > 0\& \sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} = 1$
Ta có:$\sqrt[{n - 1}]{{{a_1} + {a_2}}} = \sqrt[{n - 1}]{{{x_3}{x_4}...{x_n}\left( {{x_2}{m_1} + {x_1}{m_2}} \right)}} \le \frac{{{x_3} + {x_4} + ... + {x_n} + {x_2}{m_1} + {x_1}{m_2}}}{{n - 1}}$
Tương tự:

$\begin{array}{l}
\sqrt[{n - 1}]{{{a_2} + {a_3}}} \le \frac{{{x_4} + {x_5} + ... + {x_1} + {x_3}{m_2} + {x_2}{m_3}}}{{n - 1}} \\
.................... \\
\sqrt[{n - 1}]{{{a_n} + {a_1}}} \le \frac{{{x_2} + {x_3} + ... + {x_{n - 1}} + {x_1}{m_n} + {x_n}{m_1}}}{{n - 1}} \\
\end{array}$
Suy ra:
$\sqrt[{n - 1}]{{{a_1} + {a_2}}} + \sqrt[{n - 1}]{{{a_2} + {a_3}}} + ... + \sqrt[{n - 1}]{{{a_{n - 1}} + {a_n}}}$
$ \le \frac{{\left( {n - 2} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} + {m_1}\left( {{x_2} + {x_n}} \right) + {m_2}\left( {{x_1} + {x_3}} \right) + ... + {m_n}\left( {{x_1} + {x_{n - 1}}} \right)}}{{n - 1}}$
$ < \frac{{\left( {n - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}{{n - 1}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} $
( Do $\sum\limits_{i = 1}^n {{m_i}} = 1$ và tất cả các số đề dương)
=> Mâu thuẫn với pt 2 của hệ
Vậy hệ vô nghiệm
___

[NLT]

SOLUTION 2:
Từ pt 1, ta suy ra:
$x=\frac{xyz}{yz}=\frac{ax+by+cz}{yz}=\frac{ax}{yz}+\frac{b}{z}+\frac{c}{y}> \frac{b}{z}+\frac{c}{y}$
Tượng tự:
$y > \frac{a}{z} + \frac{c}{x};z > \frac{b}{x} + \frac{a}{y}$
Suy ra:
$\begin{align}
& x+y+z>\frac{a+b}{z}+\frac{c+a}{y}+\frac{b+c}{x} \\
& \Leftrightarrow 2\left( x+y+z \right)>\left( \frac{a+b}{z}+z \right)+\left( \frac{c+a}{y}+y \right)+\left( \frac{b+c}{x}+x \right) \\
\end{align}$
Áp dụng AM-GM, ta có:
$\begin{align}
& x+\frac{b+c}{x}\ge 2\sqrt{b+c} \\
& y+\frac{c+a}{y}\ge 2\sqrt{c+a} \\
& z+\frac{a+b}{z}\ge 2\sqrt{a+b} \\
\end{align}$
=> Cộng vế theo vế, sẽ dấn đến mâu thuẫn với pt 2 của hệ
Do vậy, hệ vô nghiệm
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 29-05-2012 - 11:13

[wallunint]

Đã hết giờ làm bài của MSS 15

Mời các em thảo luận bài làm

Tuy nhiên MSS 15 vẩn chưa kết thúc zz Chuyện hay còn ở phía sau

Và các em có cơ hội nhận 20K (nạp card điện thoại) ) Nếu giải đúng bài mở rộng của anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 11:10

[NLT]

Đã hết giờ làm bài của MSS 15

Mời các em thảo luận bài làm

Tuy nhiên MSS 15 vẩn chưa kết thúc zz Chuyện hay còn ở phía sau

Và các em có cơ hội nhận 20K (nạp card điện thoại) ) Nếu giải đúng bài mở rộng của anh

OK, tuy nhiên, mỗi tuần nếu đc anh có thể nghĩ ra những bài mở rộng hay và có thể thưởng, 15-20k cũng đc ạ !
___

[wallunint]

MSS22 không ra đề nên $D_{rd}=-10$
Nhận xét:
Đề khá khó chịu Có ít bạn tham gia giải
Đây là đề thi vào trường Lê Quý Đôn Đà Nẵng năm 2001
Tuyên dương em Nguyen Lam Thinh có nhiều mở rộng hay
Nhưng anh phải nói là có nhiều bạn chép chung sách nên có thể cùng đúng hoặc cùng sai
================================
TỔNG KẾT TRẬN 15:
MSS02: Cao Xuân Huy[56]
MSS03: yeutoan11
MSS04: nguyenta98ka
MSS05: Secrets In Inequalities VP[54]
MSS06: maikhaiok
MSS08: bong hoa cuc trang
MSS09: minhtuyb
MSS10: duongld
MSS14: daovuquang[48]
MSS16: Nguyễn Hữu Huy
MSS17: Nguyen Lam Thinh[116]
MSS19: Kir
MSS21: nthoangcute[79]
MSS22: nth1235 [-10]
MSS24: ToanHocLaNiemVui
MSS26: sherlock holmes 1997
MSS27: Cuong Ngyen
MSS28: tranhydong
MSS30: phantomladyvskaitokid
MSS32: tson1997
MSS33: WhjteShadow
MSS36: vtduy97
MSS37: hell angel 97
MSS39: danganhaaaa
MSS40: mituot03
MSS41: bossulan239
MSS42: thaonguyenkmhd
MSS43: agito0002
MSS44: hamdvk
MSS45: Tru09
MSS46: ninhxa[67]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2012 - 12:30

[danganhaaaa]

Sai từ chỗ:

Không có dấu bằng em à

S=0

em không hiểu.anh nói rõ hơn được không ạ?!!!!

[mituot03]

$\sqrt[3]{{a + b}} + \sqrt[3]{{b + c}} + \sqrt[3]{{c + d}} + \sqrt[3]{{d + a}} \le \frac{{2\left( {x + y + z} \right) + m\left( {y + t} \right) + n\left( {z + x} \right) + p\left( {y + t} \right) + q\left( {z + x} \right)}}{3}$
$ = \frac{{2\left( {x + y + z} \right) + \left( {m + p} \right)\left( {y + t} \right) + \left( {n + q} \right)\left( {z + x} \right)}}{3}$
$< \frac{{2\left( {x + y + z} \right) + \left( {m + p} \right)\left( {x + z + y + t} \right) + \left( {n + q} \right)\left( {y + t + z + x} \right)}}{3}$
$= \frac{{2\left( {x + y + z} \right) + \left( {m + n + p + q} \right)\left( {x + y + z + t} \right)}}{3} = x + y + z + t$ (do $m+v+p+q=1$ & tất cả các số đều dương).
___

Chỗ đó hinh như là x+y+z+t chứ bạn.

Mod@ : Bạn viết thiếu thôi em^^. Anh chỉnh lại thế này:

\[\begin{align}
& =\frac{2\left( x+y+z \right)+\left( m+p \right)\left( y+t \right)+\left( n+q \right)\left( z+x \right)}{3} \\
& <\frac{2\left( x+y+z \right)+\left( m+p \right)\left( x+z+y+t \right)+\left( n+q \right)\left( y+t+z+x \right)}{3} \\
& =\frac{2\left( x+y+z \right)+\left( m+n+p+q \right)\left( x+y+z+t \right)}{3}<x+y+z+t \\
\end{align}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 19:31

[wallunint]

em không hiểu.anh nói rõ hơn được không ạ?!!!!

OK em ^^

Áp dụng bổ đề(BĐT Bunhia) ta được
$(\sqrt{z}\sqrt{my+nx}+\sqrt{x}\sqrt{nz+py}+\sqrt{y}\sqrt{px+mz})^{2}\leq (x+y+z)(my+nx+nz+py+px+mz)$
=$(m+n+p)(x+y+z)(x+y+z)$
=$(m+n+p)(x+y+z)^{2}$
=$(x+y+z)^{2}$(vì m+n+p=1)

Chỗ đó viết đúng phải là:
$(\sqrt{z}\sqrt{my+nx}+\sqrt{x}\sqrt{nz+py}+\sqrt{y}\sqrt{px+mz})^{2}\leq (x+y+z)(my+nx+nz+py+px+mz)$
$<\left( m+n+p \right)\left( x+y+z \right)\left( x+y+z \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 19:27

[wallunint]

Em nào chém được cả 2 bài mở rộng này trong 72h sẽ được thưởng 30000 VNĐ.
Bắt đầu tính giờ lúc 8h15'.

Mở rộng 1:(perfectstrong) Cho $x;y;z;t>0$ là các tham số. Giải hệ pt sau trên tập số thực dương:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ax + by + cz + dt = xyzt} \\
{x + y + z + t = \frac{4}{3}\left( { - 1 + \sqrt {1 + 3\sum\limits_{sym} {\sqrt {a + b} } } } \right)} \\
\end{array}} \right.$


Mở rộng 2: (wallunint) Cho $x;y;z>0$ là các tham số. Giải hệ pt sau trên tập số thực dương:
\[
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
ax+by+cz=xyz \\
\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left( x+y+z \right) \\
\end{array} \right.
\]

ps: Mở rộng 1 chặt hơn bài 4 biến bình thường
Còn mở rộng 2 là 1 hệ phương trình có nghiệm

Hết giờ làm bài. Không có bạn nào dành được giải thưởng 30000 VNĐ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 01-06-2012 - 21:36

[anh qua]

Em nào chém được cả 2 bài mở rộng này trong 72h sẽ được thưởng 30000 VNĐ.
Bắt đầu tính giờ lúc 8h15'.

Mở rộng 1:(perfectstrong) Cho $x;y;z;t>0$ là các tham số. Giải hệ pt sau trên tập số thực dương:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ax + by + cz + dt = xyzt} \\
{x + y + z + t = \frac{4}{3}\left( { - 1 + \sqrt {1 + 3\sum\limits_{sym} {\sqrt {a + b} } } } \right)} \\
\end{array}} \right.$


Mở rộng 2: (wallunint) Cho $x;y;z>0$ là các tham số. Giải hệ pt sau trên tập số thực dương:
\[
\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
ax+by+cz=xyz \\
\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left( x+y+z \right) \\
\end{array} \right.
\]

ps: Mở rộng 1 chặt hơn bài 4 biến bình thường
Còn mở rộng 2 là 1 hệ phương trình có nghiệm

Hết giờ làm bài. Không có bạn nào dành được giải thưởng 30000 VNĐ

Bài 1: Nếu cho a,b,c,d dương thì mình làm như sau:
Ta đi CM: $x+y+z+t>\frac{4}{3}\left[ -1+\sqrt{1+3\sum\limits_{sym}{\sqrt{a+b}}}\text{ } \right]$
Từ giả thiết thứ nhất ta có:
$xyzt > by+cz+dt$
so $x > \frac{b}{zt} + \frac{c}{yt} +\frac{d}{yz}$
hay ta có: $x+y+z+t>\frac{a+b}{zt}+\frac{a+c}{yt}+\frac{a+d}{yz}+\frac{b+c}{xt}+\frac{b+d}{xz}+\frac{c+d}{xy}$
Suy ra:
$x+y+z+t +xy+xz+xt+yz+yt+zt > 2\sqrt{a+b} + 2\sqrt{a+c}+2\sqrt{a+d}+2\sqrt{b+c}+2\sqrt{b+d}+2\sqrt{c+d}$
(Chỗ này dùng AM-GM)
Mà: $xy+xz+xt+yz+yt+zt\ \le \frac{3}{8}{{(x+y+z+t)}^{2}}$
Đến đây giải bất phương trình ẩn $x+y+z+t$ => done
p/s: Bài này cũ rồi, xuất hiện trên THTT của anh Phạm Kim Hùng sáng tác

Wallunint@ Bài 1 là đề thi của Trung Quốc đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 14:11

[WhjteShadow]

Giải đi anh ơi T.T