Đề của trọng tài:
Bài 2: Cho các số không âm $x,y$. Chứng minh:
$$\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge \frac{5}{8}$$
XIN ĐƯỢC NẠP LAỊ BÀI ! BÀI TRƯỚC BỊ LỖI THIẾU TEXT !
Ko quen dạng 1 thôi thì em mần dạng 2 vậy !
Giải :
Đầu tiên , x và y ko thể đồng thời bằng 0
Thật vậy vì x + y # 0 , x và y ko âm nên x , y không thể cùng bằng 0 (*)
BĐT tương đương với :
$$\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}} - \frac{1}{8} +\frac{\sqrt{xy}}{x+y} - \frac{1}{2} \ge 0 $$
$\Leftrightarrow \frac{8(x^4 + y^4) - (x + y)^4}{8(x + y)^4} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2}{2(x + y)} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{7x^3 + 7y^4 - 4x^3y - 6x^2y^2 - 4xy^3}{8(x + y)^4} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.(4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(x - y)^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
Dễ thấy $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0$ với mọi x , y
Chỉ cần cm $\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
Hay $\Leftrightarrow (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3 \geq 0$ (vì $8(x + y)^4 > 0$)
$\Leftrightarrow (x + 2\sqrt{xy} + y)(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3 \geq 0$
Ta có
$(x + 2\sqrt{xy} + y)(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3 > (x + y)(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3 = (x + y)(7x^2 + 4xy + 7y^2 - 4x^2 - 8xy - 4y^2) = (x + y)(3x^2 - 4xy + 4y^2)$
Thấy rằng
$x + y > 0$ (đk (*)
$3x^2 - 4xy + 3y^2 = x^2 + y^2 + 2(x - y)^2 > 0$ (chú ý đk (*)
$\Rightarrow (x + y)(3x^2 - 4xy + 4y^2) > 0$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3}{8(x + y)^4} > 0$
$\Rightarrow (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - 4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
$$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}} - \frac{1}{8} +\frac{\sqrt{xy}}{x+y} - \frac{1}{2} \ge 0 $$
Hay $$\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}{{{\left( x+y \right)}^{4}}}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\ge \frac{5}{8}$$ (Q.E.D)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} = \sqrt{y} \Leftrightarrow x = y $ ( x , y khác 0)
Tính toán sai từ chỗ
$\Leftrightarrow \frac{7x^3 + 7y^4 - 4x^3y - 6x^2y^2 - 4xy^3}{8(x + y)^4} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.(4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(x - y)^2(7x^2 + 4xy + 7y^2) - (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2.4(x + y)^3}{8(x + y)^4} \geq 0$
Đúng ra phải là\[
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{7x^4 + 7y^4 - 4x^3 y - 6x^2 y^2 - 4xy^3 }}{{8(x + y)^4 }} - \frac{{(\sqrt x - \sqrt y )^2 .4(x + y)^3 }}{{8(x + y)^4 }} \ge 0 \\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x - y} \right)^2 \left( {7x^2 + 10xy + 7y^2 } \right) - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)^2 4\left( {x + y} \right)^3 }}{{8\left( {x + y} \right)^4 }} \ge 0 \\
\end{array}
\]
S=0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-06-2012 - 22:57