Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right)$ là số hạng giữa của cấp số nhân gồm 3 số hạng:
$$\tan \frac{5\pi }{12},\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right), \tan \left( \frac{5\pi }{12}-\alpha \right)$$
Vì $\tan\frac{5\pi }{12};\tan\left ( \frac{5\pi}{12}+\alpha \right );\tan\left ( \frac{5\pi}{12}-\alpha \right )$ lập thành cấp số nhân nên
$\tan^2\left ( \frac{5\pi}{12}+\alpha \right )=\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\left ( \frac{5\pi}{12}-\alpha \right )$
$\Leftrightarrow \left ( \frac{\tan\frac{5\pi}{12}+\tan\alpha }{1-\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\alpha } \right )^2=\tan\frac{5\pi}{12}.\left ( \frac{\tan\frac{5\pi}{12}-\tan\alpha }{1+\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\alpha } \right )$
$\Leftrightarrow \left ( \tan^3\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{5\pi}{12} \right )\tan^3\alpha +\left ( 1-\tan^4\frac{5\pi}{12} \right )\tan^2\alpha +3\left ( \tan^3\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha =0$
$\Leftrightarrow \tan\alpha =0$ (1)
hoặc $\tan\frac{5\pi}{12}\left ( 1+\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )\tan^2\alpha +\left ( 1-\tan^4\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha +3\tan\frac{5\pi}{12}\left ( 1+\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )=0$ (2)
(1) $\Leftrightarrow \alpha =k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) (*)
Mặt khác $\tan\frac{5\pi}{12}=\tan\left ( \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3} \right )=\frac{\tan\frac{3\pi}{4}-\tan\frac{\pi}{3}}{1+\tan\frac{3\pi}{4}.\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$
(2) $\Leftrightarrow \tan\frac{5\pi}{12}\tan^2\alpha +\left ( 1-\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha +3\tan\frac{5\pi}{12}=0$
$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})\tan^2\alpha -2(3+2\sqrt{3})\tan\alpha +3(2+\sqrt{3})=0$
$\Leftrightarrow \tan\alpha =\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi}{3}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) (**)
Vậy đáp án là :
$\left\{\begin{matrix}\alpha =k\pi\\\alpha =\frac{\pi}{3}+k\pi \end{matrix}\right.$
($k\in \mathbb{Z}$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-02-2016 - 10:52