Đến nội dung


Hình ảnh

Lập cấp số nhân $tan\frac{5\pi }{12},tan(\frac{5\pi }{12}+\alpha),tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1080 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh City University of Science
  • Sở thích:Mathematical Analysis

Đã gửi 23-06-2012 - 17:07

Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right)$ là số hạng giữa của cấp số nhân gồm 3 số hạng:

$$\tan \frac{5\pi }{12},\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right), \tan \left( \frac{5\pi }{12}-\alpha \right)$$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1029 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 05-02-2016 - 10:06

Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right)$ là số hạng giữa của cấp số nhân gồm 3 số hạng:

$$\tan \frac{5\pi }{12},\tan \left( \frac{5\pi }{12}+\alpha \right), \tan \left( \frac{5\pi }{12}-\alpha \right)$$

Vì $\tan\frac{5\pi }{12};\tan\left ( \frac{5\pi}{12}+\alpha \right );\tan\left ( \frac{5\pi}{12}-\alpha \right )$ lập thành cấp số nhân nên

$\tan^2\left ( \frac{5\pi}{12}+\alpha \right )=\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\left ( \frac{5\pi}{12}-\alpha \right )$

$\Leftrightarrow \left ( \frac{\tan\frac{5\pi}{12}+\tan\alpha }{1-\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\alpha } \right )^2=\tan\frac{5\pi}{12}.\left ( \frac{\tan\frac{5\pi}{12}-\tan\alpha }{1+\tan\frac{5\pi}{12}.\tan\alpha } \right )$

$\Leftrightarrow \left ( \tan^3\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{5\pi}{12} \right )\tan^3\alpha +\left ( 1-\tan^4\frac{5\pi}{12} \right )\tan^2\alpha +3\left ( \tan^3\frac{5\pi}{12}+\tan\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha =0$

$\Leftrightarrow \tan\alpha =0$               (1)

                hoặc $\tan\frac{5\pi}{12}\left ( 1+\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )\tan^2\alpha +\left ( 1-\tan^4\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha +3\tan\frac{5\pi}{12}\left ( 1+\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )=0$ (2)

(1) $\Leftrightarrow \alpha =k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)  (*)

Mặt khác $\tan\frac{5\pi}{12}=\tan\left ( \frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3} \right )=\frac{\tan\frac{3\pi}{4}-\tan\frac{\pi}{3}}{1+\tan\frac{3\pi}{4}.\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

(2) $\Leftrightarrow \tan\frac{5\pi}{12}\tan^2\alpha +\left ( 1-\tan^2\frac{5\pi}{12} \right )\tan\alpha +3\tan\frac{5\pi}{12}=0$

$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})\tan^2\alpha -2(3+2\sqrt{3})\tan\alpha +3(2+\sqrt{3})=0$

$\Leftrightarrow \tan\alpha =\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{\pi}{3}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$) (**)

Vậy đáp án là :

$\left\{\begin{matrix}\alpha =k\pi\\\alpha =\frac{\pi}{3}+k\pi \end{matrix}\right.$

($k\in \mathbb{Z}$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-02-2016 - 10:52

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh