Đến nội dung


Thông báo

International members are allowed to discuss in English language in the entire forum. However, we recommend them to post their new questions/topics in our Mathematics in English subforum. Please read this guide before posting.
BQT khuyến khích tất cả thành viên tham gia thảo luận trong box Toán tiếng Anh.

Chuyên mục mới
Mỗi tuần một bài toán Hình học

Nổi bật
Hướng dẫn vẽ hình trên diễn đàn


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$

THI HSG. 3 bài

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 24-06-2012 - 17:38

Bài toán 1.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y \\y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x} \end{array}\right.$$
Bài toán 2.
Cho các tham số dương $a,b,c$. Tìm nghiệm dương của hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$
Bài toán 3.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2z(x+y)+1=x^2-y^2 \\y^2+z^2=1+2xy+2zx-2yz \\y(3x^2-1)=-2x(x^2+1) \end{array}\right.$$

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 24-06-2012 - 18:45

Bài toán 1.
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}2y^3+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}-y \\y=2x^2-1+2xy\sqrt{1+x} \end{array}\right.$$


Lời giải.

$$(1)\Leftrightarrow 2y^3+y=(1+2(1-x))\sqrt{1-x}$$

Xét $f(t)=2t^3+t\rightarrow f'(t)=6t^2+1>0 \forall t\in \mathbb{R}$

$$\Rightarrow y=\sqrt{1-x}\rightarrow (2)$$

Nên $(2)\Leftrightarrow \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2} (*)$

Với $x\in[-1;1]$ đặt $x=sint$ với $t\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$

$$(*)\Rightarrow 2sin^2t-1+2sintcost=\sqrt{1-sint}\Leftrightarrow sin2t-cos2t=\sqrt{1-sint}\Leftrightarrow sin4t=sint\\\Leftrightarrow4t=t+k2\pi \vee 4t=(\pi-t)+k2\pi \Leftrightarrow t=0\pi+k2\pi \vee t = \frac{\pi}{5}+k2\pi$$

Đối chiều điều kiện $t\in[\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow t=\frac{\pi}{5} \vee t=0$

$t=0 \Rightarrow x=0$, $\fbox{Sai}$

Giờ ngồi tính $sin36^o\\$



$$sin36^o=cos54^o\Rightarrow 2sin18.cos18=4cos^318-3cos18\\
\Leftrightarrow 2sin18=4cos^218-3\\
\Leftrightarrow2sin18=1-4sin^218\Leftrightarrow sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\\
\Rightarrow sin36=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})}
\\\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})} $$

Vậy $\fbox{$x=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})} \\ y=\sqrt{1-\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{1}{2}(5-\sqrt{5})}}$}$

:D Bài lượng giác đầu tiên của mềnh :(. Sai sót chỗ nào mọi người chỉ giúp nha :D Mới làm nên lạ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 24-06-2012 - 19:20

ĐCG !

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5529 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-06-2012 - 22:15

Bài toán 2.
Cho các tham số dương $a,b,c$. Tìm nghiệm dương của hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}x+y+z=a+b+c \\4xyz-a^2x-b^2y-c^2z=abc \end{array}\right.$$


Xem hướng dẫn tại đây.

#4 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 28-06-2012 - 22:26

Xem hướng dẫn tại đây.

Bài này còn một cách độc đáo nữa anh à. Cách này em làm ngơ không ngờ cũng ra :D Còn với bài này, lượng giác đã quá quen thuộc rồi :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh