Đến nội dung

Hình ảnh

Trận chung kết MSS 2012 - Hiệp 1 - Số học

- - - - -

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 23 trả lời

#1
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.


BTC lưu ý:
Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-06-2012 - 10:49

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Đề hiệp 1:
Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Thông báo: Đã có đề cho hiệp 1 Trận chung kết MSS 2012. Các toán thủ vào tham gia.

#4
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Đề hiệp 1:
Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Mít tờ ba vê kép mà không thông báo chắc quên quá ="='
SOLUTION:

-Xét hai số $a_1;a_3$, theo giả thiết thì tồn tại $a_k$ thỏa mãn $lcm(a_1;a_3)|a_k;1<k<3\Rightarrow lcm(a_1;a_3)|a_2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a_1|a_2\\ a_3|a_2\ (1)\end{matrix}\right.$(vì $a_1;a_3|lcm(a_1;a_3)$)
-Xét hai số $a_2;a_4$ thì ta cũng có $lcm(a_2;a_4)|a_3$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a_2|a_3\ (2)\\ a_4|a_3\ (3)\end{matrix}\right.$
-Xét hai số $a_3;a_5$ thì ta cũng có $lcm(a_3;a_5)|a_4$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a_3|a_4\ (4)\\ a_5|a_4\end{matrix}\right.$
-Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow a_2=a_3$. từ $(3)$ và $(4)\Rightarrow a_3=a_4$
-Chứng minh tương tự, ta có: $a_4=a_5,a_5=a_6,...,a_{2010}=a_{2011};a_{2012}|a_{2011}$
Suy ra: $a_2=a_3=a_4=...=a_{2010}=a_{2011}$ và $a_1|a_2;a_{2012}|a_{2011}$

*Vậy GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy là $3$, ví dụ như dãy: ${1;4;4;4;4;...;4;2}$ ($2010$ số $4$)
*Dãy tổng quát: $m;n;n;n;...;n;p$ ($2010$ số $n$) với $m,n,p\in \mathbb{N^*};lcm(m,p)|n$
Bài toán được giải quyết hoàn toàn!
------------
Èo, đề khó mở rộng rồi ="='

D-B=13.7h
E=10
F=0
S=64.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:38

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#5
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
EXP 1:

Cho dãy $n$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ với $n\in \mathbb{Z};n\ge 3$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Chứng minh tương tự bài toán gốc, ta có: $a_2=a_3=...=a_{n-2}=a_{n-1}$ và $a_1|\ a_2;a_n|\ a_{n-1}$
*Vậy GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy là $3$, dãy đó là:
$m;r;r;r;...;r;p$ ($n-2$ số $r$) với $m,r,p\in \mathbb{N^*};lcm(m,p)|r$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#6
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Đề hiệp 1:
Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Em post bài này với mục đích tham khảo, em không thi :D

Đặt $[a,b]$ là $BCNN[a,b]$

Giải như sau:

Gọi các đó là $a_1,a_2,...,a_{2012}$

Theo đề bài suy ra

$a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right]$

$a_3 \vdots \left[a_2,a_4 \right]$

$...$

$a_{2011} \vdots \left[a_{2010},a_{2012}\right]$

Xét $a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right] \Rightarrow a_2\vdots a_3 \Rightarrow a_2\geq a_3$ $(1)$

Lại xét $a_3 \vdots \left[a_2,a_4 \right] \Rightarrow a_3 \vdots a_2 \Rightarrow a_3\geq a_2$ $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow a_2=a_3$

Cm tương tự $a_3=a_4$, $a_4=a_5$,...,$a_{2010}=a_{2011}$

Do đó ta có $a_2=a_3=a_4=...=a_{2010}=a_{2011}=k$

Ta chỉ còn hai số $a_1, a_{2012}$

Lại xét $a_{2011} \vdots \left[a_{2010},a_{2012}\right] \Rightarrow a_{2011} \vdots a_{2012} \Rightarrow k \vdots a_{2012}$ $(3)$

Lại xét $a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right] \Rightarrow a_2 \vdots a_1 \Rightarrow k \vdots a_1$ $(4)$

Từ $(3)(4)$ suy ra đặt $gcd\left(a_{2012},a_1\right)=d \Rightarrow a_{2012}=dm,a_1=dn, gcd(m,n)=1$ suy ra $k \vdots dm$ và $k \vdots dn$ suy ra $k \vdots d \Rightarrow

k=dq$

Do đó suy ra $dq|dm$ và $dq|dn \Rightarrow q|m$ và $q|n$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow q|mn \Rightarrow k \vdots \left[a_{2012},a_1\right]$

Do đó đáp số của bài toán là $3$ đó là 3 giá trị $k,a_1,a_{2012}$ và $k \vdots \left[a_{2012},a_1\right]$ với $a_1 \neq a_{2012}$ $(*)$

Ta chỉ một dãy thỏa mãn theo ta đã chứng minh ở $(*)$

$(a_1,a_2,...,a_{2011},a_{2012})=(4,12,12,...,12,6)$

Đáp số $\boxed{3}$

Kết thúc :D

#7
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Đề hiệp 1:
Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Xét dãy $2012$ số nguyên dương $a_1, \; a_2, \;..., \; a_{2012}$
Vì với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$
Suy ra trong hai phần tử $a_1$ và $a_3$ thì tồn tại $a_2$ chia hết cho $BCNN(a_1;a_3)$
hay $\left\{\begin{matrix}
a_2 \; \vdots \; a_1\\
a_2 \; \vdots \; a_3
\end{matrix}\right.$
Suy ra $a_2 \; \vdots \; a_3 \;\;\;\;\;\;\; (\bigstar )$
Ta lại có: trong hai phần tử $a_2$ và $a_4$ thì tồn tại $a_3$ chia hết cho $BCNN(a_2;a_4)$
Suy ra $a_3 \; \vdots \; a_2 \;\;\;\;\;\;\; (\star )$
Từ $(\bigstar )$ và $(\star )$ ta thấy:
$\left\{\begin{matrix}
a_2 \; \vdots \; a_3\\
a_3 \; \vdots \; a_2
\end{matrix}\right.$
Mà $a_2$ và $a_3$ là hai số nguyên dương nên điều này sảy ra khi và chỉ khi $a_2 \; = \; a_3$
Chứng minh tương tự như vậy ta thu được :
$a_2 \; = \; a_3\; = \; a_4\; = \; a_4 \; = \; ... \; = a_{2011}$

Từ đó suy ra số giá trị khác nhau trong dãy $2012$ số kia luôn nhỏ hơn hoặc bằng 3 !!!

Vậy GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy là 3 !!!
Ta có thể chỉ ra một trường hợp thỏa mãn :
$(a_1, \; a_2, \; a_3, \;..., \; a_{2011}, \; a_{2012})=(x t, \; xyt , \; xyt , \; ... , \; xyt , \; y t)$ với $x , \; y , \; t$ là các số nguyên dương lớn hơn 1 và $x$ khác $y$

D-B=17h
E=10
F=0
S=61

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:39

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#8
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
:icon12: Lời giải:
Vì với mọi phần tử $a_i,a_j$ mà $i<j-1$ đều thỏa mãn nên ta chọn $i=j-2$, lúc đó suy ra được $k=j-1$, lúc này, do $a_k \vdots lcm (i,j)$ nên $ a_{j-1} \vdots lcm(a_{j-2}, a_j)$. Vì vậy, ta có:
${a_2} \vdots lcm\left( {{a_1},{a_3}} \right);{a_3} \vdots lcm\left( {{a_2},{a_4}} \right)$$ \to {a_2} \vdots {a_3}\& {a_3} \vdots {a_2}$
Do ${a_2},{a_3} \in {Z^ + }$ nên $a_2=a_3$.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: $a_3=a_4; a_4=a_5;...;a_{2010}=a_{2011}$.
$\to a_2=a_3=a_4=...=a_{2011}$.
Dễ thấy rằng chỉ có nhiều nhất 3 giá trị khác nhau trong dãy đã cho.
Vậy giá trị lớn nhất của số giá trị khác nhau có trong dãy là 3. :icon12:

D-B=17.5h
E=10
F=2*10=20
S=60.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:41

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#9
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Có lẽ nhìn vào bài làm của em chắc mọi người cũng biết được mở rộng làm y hệt rồi chứ, mở rộng là cho $k$ số nguyên dương bất kì với $k\geq 3$

#10
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Áp dụng giả thiết đề bài với $i=1,k=2,j=3$ ta có $a_2\vdots BCNN(a_1;a_3)$
$\to a_2\vdots a_3,a_1$ (1)
Áp dụng giả thiết đề bài với $i=2,k=3,j=4$ ta có $a_3\vdots BCNN(a_2;a_4)$
$\to a_3\vdots a_2$ (2)
Từ (1) và (2) mà $a_2$ và $a_3$ đều là các số nguyên dương nên $a_2=a_3$
Tương Tự với các số tiếp the0 ta thu được:
$a_2=a_3=a_4=.......=a_{2011}$
Tức là dãy 2012 số trên đã có 2010 số bằng nhau,2 số nguyên dương bất kì ($a_1,a_{2012}$) là ước của nhứng số bằng nhau đó.
Vậy giá trị lớn nhất số các giá trị khác nhau có tr0ng dãy sẽ là 3.
Chẳng hạn 1 dãy thỏa mãn: $2,6,6,6,.........,6,3$ (2010 số $6$)

D-B=17.9h
E=10
F=0
S=60.1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:40

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#11
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Mở rộng:
Không dừng lại ở 2012 số, ta mở rộng với m số.

Đề: Cho dãy $m (m \in N , m \ge 3)$ số nguyên dương $a_1;...;a_m$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.


Lời giải:
Vì với mọi phần tử $a_i,a_j$ mà $i<j-1$ đều thỏa mãn nên ta chọn $i=j-2$, lúc đó suy ra được $k=j-1$, lúc này, do $a_k \vdots lcm (i,j)$ nên $ a_{j-1} \vdots lcm(a_{j-2}, a_j)$. Vì vậy, ta có:
${a_2} \vdots lcm\left( {{a_1},{a_3}} \right);{a_3} \vdots lcm\left( {{a_2},{a_4}} \right)$$ \to {a_2} \vdots {a_3}\& {a_3} \vdots {a_2}$
Do ${a_2},{a_3} \in {Z^ + }$ nên $a_2=a_3$.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: $a_3=a_4; a_4=a_5;...;a_{m-2}=a_{m-1}$.
$\to a_2=a_3=a_4=...=a_{m-1}$.
Dễ thấy rằng chỉ có nhiều nhất 3 giá trị khác nhau trong dãy đã cho.
Vậy giá trị lớn nhất của số giá trị khác nhau có trong dãy là 3. :icon12:

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#12
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Bổ sung cho em vào lời giải ban đầu (sau khi chứng minh được rằng $a_2=a_3=...=a_{2011}$)

Dễ thấy một bộ số thỏa mãn là: $(a_1,a_2,a_3;...;a_{2012})=(4,12,12,12,...,12,12,6)$ (2010 số 12)
Vậy giá trị lớn nhất của số giá trị khác nhau có trong dãy là 3.

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#13
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết

Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Em xin giải. Giờ mới thấy đề :(
Lời giải:
Ta có tính chất: bội số khác $0$ của một số nguyên dương a thì không nhỏ hơn $a$ $(*)$
Xét $i=m$;$j=m+2$ ($m\in [1;n-3]$) thì thỏa mãn điều kiện $j-1>i$.
Theo đề thì tồn tại phần tử $a_k$ trong dãy trên thỏa mãn $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$ mà $i<k<j$.
Ta xét $i=m;j=m+2$ nên $m<k<m+2 \Rightarrow k=m+1$.
Áp dụng tính chất $(*)$ ta có: $a_k=a_{m+1}$ là bội của $BCNN(a_m;a_{m+2})$ nên $a_{m+1}\ge BCNN(a_{m+2},a_m)$.
Cũng từ $(*)$ suy ra $a_{m+1} \ge BCNN(a_m;a_{m+2}) \ge a_m$ và $a_{m+1} \ge BCNN(a_m;a_{m+2}) \ge a_{m+2}$ $(**)$
Do đó: $(**) \Rightarrow a_{m+1}\ge a_{m+2}$
Xét $i=m+1;j=m+3$ ta cũng có tính chất $(**)$: $a_{m+2} \ge BCNN(a_{m+1};a_{m+3}) \ge a_{m+1}$ và $a_{m+2} \ge BCNN(a_{m+1};a_{m+3}) \ge a_{m+3}$. Vì vậy: $a_{m+2}\ge a_{m+1}$
Do đó qua 2 lần xét như trên ta có: $a_{m+2} \ge a_{m+1}$ và $\Rightarrow a_{m+1}\ge a_{m+2}$
$\Rightarrow a_{m+1}=a_{m+2}$.
Cho $m$ chạy từ 1 đến $n-3$ ta có: $a_2=a_3=...=a_{2011}$.
Từ $(**)$ cũng suy ra $a_2\ge a_1$ và $a_{2011} \ge a_{2012}$.
Do đó: $a_2=a_3=...=a_{2011} \ge a_1$ và $a_2=a_3=...=a_{2011} \ge a_{2012}$
Do đó số phần tử nhiều khác nhau nhiều nhất của dãy là 3 khi và chỉ khi $a_1 \ne a_2=a_3=...a=_{2011} \ne a_{2012}$

Xét dấu = không đúng.
D-B=21.7h
E=9
F=0
S=53.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:42

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#14
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Ta kí hiệu $[a;b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b.$
Theo đề bài: $a_2\vdots [a_1;a_3]\Rightarrow a_2\geq[a_1;a_3]\geq a_3.(1)$
Tương tự, $a_3\vdots [a_2;a_4]\Rightarrow a_3\geq a_2.(2)$
Từ $(1),(2)$ ta suy ra $a_2=a_3.$
Tương tự, ta được $a_3=a_4=a_5=...=a_{2010}=a_{2011}\Rightarrow$ số các giá trị khác nhau $\leq3.$
Ta sẽ chỉ ra 1 bộ có 3 giá trị khác nhau. Thật vậy, xét $(a_1;a_2;...;a_{2011};a_{2012})=(12;36;...;36;18)$ thỏa mãn đề bài.

D-B=22h
E=10
F=4*10=40
S=96

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-07-2012 - 21:43


#15
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 1: Ta sẽ mở rộng lên $n$ số $a_1;a_2;...;a_n.$ Cách chứng minh cũng tương tự như với 2012 số.:D
Ta kí hiệu $[a;b]$ là bội chung nhỏ nhất của $a$ và $b.$
Theo đề bài: $a_2\vdots [a_1;a_3]\Rightarrow a_2\geq[a_1;a_3]\geq a_3.(1)$
Tương tự, $a_3\vdots [a_2;a_4]\Rightarrow a_3\geq a_2.(2)$
Từ $(1),(2)$ ta suy ra $a_2=a_3.$
Tương tự, ta được $a_3=a_4=a_5=...=a_{n-2}=a_{n-1}\Rightarrow$ số các giá trị khác nhau $\leq3.$
Ta sẽ chỉ ra 1 bộ có 3 giá trị khác nhau. Thật vậy, xét $(a_1;a_2;...;a_{n-1};a_{n})=(12;36;...;36;18)$ thỏa mãn đề bài.

#16
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Mở rộng 2: Ta thay BCNN thành ƯCLN.


Cho dãy $n, n \n N, n > 2$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots gcd(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Cũng tương tự, ta chọn $i=j-2$, dễ thấy $k=j-1$ $\to{a_{j - 2}} \vdots {a_{j - 1}};{a_j} \vdots {a_{j - 1}}$, từ đó dẫn đến: ${a_3} \vdots {a_2}$; ${a_2} \vdots {a_3}$ $\to a_2=a_3$.
Tương tự: ${a_3} = {a_4};{a_4} = {a_5};...;{a_{n - 2}} = {a_{n - 1}}$.
$\to {a_2} = {a_3} = {a_4} = ... = {a_{n - 2}} = {a_{n - 1}}$.
Dễ thấy GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy là 3. :icon12:
___

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#17
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 2: Lần này ta sẽ thử thay yếu tố BCNN thành ƯCLN và được bài toán sau:
Cho dãy $n$ số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi phần tử $a_i;a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k|ƯCLN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.

Kí hiệu (a;b) là ƯCLN của a và b.
Ta có: $\left\{\begin{matrix}
a_2|(a_1;a_3)\Rightarrow a_2\leq(a_1;a_3)\leq a_3\\
a_3|(a_2;a_4)\Rightarrow a_3\leq(a_2;a_4)\leq a_2
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_2=a_3.$
Tương tự, ta thu được $a_2=a_3=...=a_{n-2}=a_{n-1}\Rightarrow$ số các giá trị khác nhau $\leq3.$
Nhận thấy $(a_1;a_2;...;a_{n-1};a_n)=(60;15;...;15;30)$ có 3 giá trị khác nhau$\Rightarrow$ GTLN của số các giá trị khác nhau là 3.
P/S: hôm nay viết kiểu gì thế nhỉ >.<"

#18
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 3: Ta thử mở rộng khoảng cách giữa $i,j$ và được bài toán sau:
Cho dãy $n$ số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi phần tử $a_i;a_j$ trong dãy mà $i<j-2$ thì tồn tại $a_h;a_k$ sao cho $(a_h;a_k)\vdots[a_i;a_j]$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau trong dãy.

Xét $\left\{\begin{matrix}
(a_2;a_3)\vdots[a_1;a_4]\Rightarrow a_3\geq(a_2;a_3)\geq[a_1;a_4]\geq a_4
\\
(a_4;a_5)\vdots[a_3;a_6]\Rightarrow a_4\geq(a_4;a_5)\geq[a_3;a_6]\geq a_3
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_3=a_4.$
Tương tự, ta được $a_3=a_4=a_5=...=a_{n-2}.$
Mặt khác $\left\{\begin{matrix}
(a_3;a_4)\vdots[a_2;a_5]\Rightarrow a_4\geq(a_3;a_4)\geq[a_2;a_5]\geq a_2
\\
(a_2;a_3)\vdots[a_1;a_4]\Rightarrow a_2\geq(a_2;a_3)\geq[a_1;a_4]\geq a_4
\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow a_2=a_4.$ Tương tự $a_{n-1}=a_{n-3}\Rightarrow a_2=a_3=...=a_{n-1}.$ Suy ra số các giá trị khác nhau $\leq3.$
Ta sẽ chỉ ra tập có 3 giá trị khác nhau. Thật vậy, xét $(a_1;a_2;...;a_{n-1};a_n)=(45;180;...;180;15)$ thỏa mãn điều kiện trên. :D

#19
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
Mở rộng 4: Thử đảo ngược mở rộng 3 chút ít, ta thu được 1 bài toán mới:

Cho dãy $n$ số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn tính chất sau: với mọi phần tử $a_i;a_j$ trong dãy mà $i<j-2$ thì tồn tại $a_h;a_k$ sao cho $[a_h;a_k]|(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau trong dãy.

Xét $[a_2;a_3] | (a_1;a_4)\Rightarrow a_3\leq [a_2;a_3]\leq (a_1;a_4)\leq a_4$
$[a_4;a_5] | (a_3;a_6)\Rightarrow a_4\leq [a_4;a_5]\leq (a_3;a_6)\leq a_3$
$\Rightarrow a_3=a_4.$
Tương tự, ta được $a_3=a_4=a_5=...=a_{n-2}.$
Mặt khác $[a_3;a_4]|(a_2;a_5)\Rightarrow a_4\leq[a_3;a_4]\leq(a_2;a_5)\leq a_2$
$[a_2;a_3]|(a_1;a_4)\Rightarrow a_2\leq[a_2;a_3]\leq(a_1;a_4)\leq a_4$
$\Rightarrow a_2=a_4.$ Tương tự $a_{n-1}=a_{n-3}\Rightarrow a_2=a_3=...=a_{n-1}.$ Suy ra số các giá trị khác nhau $\leq3.$
Ta sẽ chỉ ra tập có 3 giá trị khác nhau. Thật vậy, xét $(a_1;a_2;...;a_{n-1};a_n)=(128;180;...;180;15)$ thỏa mãn điều kiện trên.

#20
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Thông báo: HIỆP 1 của trận CHUNG KẾT đã kết thúc. Hãy chờ Tổ trọng tài chấm bài và công bố kết quả.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh