Đề hiệp 1:
Cho dãy $2012$ số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa tính chất sau: với mọi phần tử $a_i, a_j$ trong dãy mà $i<j-1$ thì tồn tại $a_k$ với $i<k<j$ sao cho $a_k \vdots BCNN(a_i;a_j)$. Tìm GTLN của số các giá trị khác nhau có trong dãy.
Em post bài này với mục đích tham khảo, em không thi
Đặt $[a,b]$ là $BCNN[a,b]$
Giải như sau:Gọi các đó là $a_1,a_2,...,a_{2012}$
Theo đề bài suy ra
$a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right]$
$a_3 \vdots \left[a_2,a_4 \right]$
$...$
$a_{2011} \vdots \left[a_{2010},a_{2012}\right]$
Xét $a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right] \Rightarrow a_2\vdots a_3 \Rightarrow a_2\geq a_3$ $(1)$
Lại xét $a_3 \vdots \left[a_2,a_4 \right] \Rightarrow a_3 \vdots a_2 \Rightarrow a_3\geq a_2$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow a_2=a_3$
Cm tương tự $a_3=a_4$, $a_4=a_5$,...,$a_{2010}=a_{2011}$
Do đó ta có $a_2=a_3=a_4=...=a_{2010}=a_{2011}=k$
Ta chỉ còn hai số $a_1, a_{2012}$
Lại xét $a_{2011} \vdots \left[a_{2010},a_{2012}\right] \Rightarrow a_{2011} \vdots a_{2012} \Rightarrow k \vdots a_{2012}$ $(3)$
Lại xét $a_2 \vdots \left[a_1,a_3 \right] \Rightarrow a_2 \vdots a_1 \Rightarrow k \vdots a_1$ $(4)$
Từ $(3)(4)$ suy ra đặt $gcd\left(a_{2012},a_1\right)=d \Rightarrow a_{2012}=dm,a_1=dn, gcd(m,n)=1$ suy ra $k \vdots dm$ và $k \vdots dn$ suy ra $k \vdots d \Rightarrow
k=dq$
Do đó suy ra $dq|dm$ và $dq|dn \Rightarrow q|m$ và $q|n$ mà $gcd(m,n)=1 \Rightarrow q|mn \Rightarrow k \vdots \left[a_{2012},a_1\right]$
Do đó đáp số của bài toán là $3$ đó là 3 giá trị $k,a_1,a_{2012}$ và $k \vdots \left[a_{2012},a_1\right]$ với $a_1 \neq a_{2012}$ $(*)$
Ta chỉ một dãy thỏa mãn theo ta đã chứng minh ở $(*)$$(a_1,a_2,...,a_{2011},a_{2012})=(4,12,12,...,12,6)$ Đáp số $\boxed{3}$Kết thúc