Đến nội dung

Hình ảnh

[TS ĐH 2012] Đề thi và đáp án môn Toán khối B


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 57 trả lời

#41
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
Chặn $t=xyz$ câu 6 nhé ^^

$x,y,z$ là 3 nghiệm của hàm số sau:
$$f(x)=x^3-\frac{1}{2}x-t$$
Ta có
\[f'\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{1}{2}\]
\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]
Vậy điều kiện để $f(x)$ có 3 nghiệm là

\[\begin{array}{l}
- {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - t \ge 0 \\
{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - t \le 0 \\
\end{array}\]
Tương đương
\[\boxed{ - \frac{{\sqrt 6 }}{{18}} \leqslant t \leqslant \frac{{\sqrt 6 }}{{18}}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 09-07-2012 - 21:16


#42
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Chặn $t=xyz$ câu 6 nhé ^^

$x,y,z$ là 3 nghiệm của hàm số sau:
$$f(x)=x^3-\frac{1}{2}x-t$$
Ta có
\[f'\left( x \right) = 3{x^2} - \frac{1}{2}\]
\[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{6}\]
Vậy điều kiện để $f(x)$ có 3 nghiệm phân biệt là

\[\begin{array}{l}
- {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - t \ge 0 \\
{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)^3} - \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) - t \le 0 \\
\end{array}\]
Tương đương
\[\boxed{ - \frac{{\sqrt 6 }}{{18}} \leqslant t \leqslant \frac{{\sqrt 6 }}{{18}}}\]


chỗ này đâu nhất thiết phải có 3 nghiệm phân biệt nhỉ, có thể có 2 nghiệm bằng nhau thì sao
Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#43
Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết

chỗ này đâu nhất thiết phải có 3 nghiệm phân biệt nhỉ, có thể có 2 nghiệm bằng nhau thì sao

Mình viết nhầm chỗ ấy :D, đã sửa.

#44
longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ với $SA=2a,AB=a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SC$. Chứng minh $SC$ vuông góc với mp$(ABH)$. Tính thể tích khối chop $S.ABH$.


untitled1.JPG


Gọi O là trọng tâm $\Delta$ABC
$ = > SO \bot \left( {ABC} \right)$ (tính chất hình chóp đều)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot AB \\
CO \bot AB \\
\end{array} \right. = > AB \bot \left( {SOC} \right)$
$\left. \begin{array}{l}
= > AB \bot SC \\
{\rm{ }}AH \bot SC \\
\end{array} \right\} = > SC \bot \left( {AHB} \right)$
$\Delta$vuông SOA cho ta:
$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}$
Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$
Đặt $p = \frac{{SA + SC + AC}}{2} = \frac{{5a}}{2}$
Theo công thức Herong:
\[{S_{SAC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SC} \right)\left( {p - AC} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\]

${S_{SAC}} = \frac{1}{2}AH.SC = > AH = \frac{{2{S_{SAC}}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}$
$\Delta$vuông SHA cho ta
$SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{7a}}{4}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SABH}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}\frac{{SB}}{{SB}}\frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{7}{8} \\
= > {V_{SABH}} = \frac{{7{a^3}\sqrt {11} }}{{96}} \\
\end{array}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 10-07-2012 - 12:44

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#45
chmod

chmod

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Câu bất phương trình kết quả là đúng nhưng cách làm không ổn vì 1 số bạn không xét âm dương mà đã vội vã bình phương

#46
duypro09

duypro09

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 44 Bài viết

nếu BPT có dạng $ f(x) \geq g(x) $ với $ f(x) >0 \forall x $ thì ta không cần xét điều kiện $ g(x) <0 $ vì khi đó BPT hiển nhiên đúng
còn nếu dạng $ f(x) \leq g(x) $ với $ f(x) >0 \forall x $ thì mới phải xét như vậy

@alex hoàng: bài này kết quả đúng đấy

Hình như anh hơi nhầm, theo em nghĩ cái trên mới cần xét chứ . Vd như $3>-5$ , vậy đó
@bài này nếu bạn có xét TH ra như vậy rồi sau đó hợp nghiệm lại thì vẫn như vậy thôi, TH $ g(x)> 0$ đã bao quát hết cả TH còn lại rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 09-07-2012 - 21:32


#47
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
Câu bất đẳng thức này giống mấy câu của anh Phúc chế mà, mọi người có thể tham khảo ở đây! Ta luôn chặn được x,y,z với đk đã cho. Và nó đây: http://diendantoanho...showtopic=63567
http://diendantoanho...showtopic=63568

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 09-07-2012 - 21:37

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#48
bugatti

bugatti

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Gọi O là trọng tâm $\Delta$ABC
$ = > SO \bot \left( {ABC} \right)$ (tính chất hình chóp đều)
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot AB \\
CO \bot AB \\
\end{array} \right. = > AB \bot \left( {SOC} \right)$
$\left. \begin{array}{l}
= > AB \bot SC \\
{\rm{ }}AH \bot SC \\
\end{array} \right\} = > SC \bot \left( {AHB} \right)$
$\Delta$vuông SOA cho ta:
$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}$
Vậy ${V_{SABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}$
Đặt $p = \frac{{SA + SC + AC}}{2} = \frac{{5a}}{2}$
Theo công thức Herong:
\[{S_{SAC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SC} \right)\left( {p - AC} \right)} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\]

${S_{SAC}} = \frac{1}{2}AH.SC = > AH = \frac{{2{S_{SAC}}}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}$
$\Delta$vuông SHA cho ta
$SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{7a}}{4}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\frac{{{V_{SABH}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}\frac{{SB}}{{SB}}\frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{SH}}{{SC}} = \frac{7}{8} \\
= > {V_{SABH}} = \frac{{7{a^3}\sqrt {11} }}{{96}} \\
\end{array}$

Cám ơn bạn đã làm tiếp phần tỉ số thể tích này :namtay
Nếu bạn thích bài viết của tôi hãy chọn "LIKE" nhé,
còn nếu không thích hãy chọn "LIKE" coi như đó là 1 viên gạch :))

#49
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
Sao cái câu tổ hợp em dung quy tắc nhân lại khác nhỉ. Chỉ cần tính cái số 4 người được chọn ngẫu nhiên cũng thấy khác:
Số cách chọn là: 25.24.23.22=303600(cách chọn)

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#50
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ với $SA=2a,AB=a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SC$. Chứng minh $SC$ vuông góc với mp$(ABH)$. Tính thể tích khối chóp $S.ABH$.


Hình đã gửi



A. Chứng minh $SC$ vuông góc với mp$(ABH)$


Cách 1: Sử dụng tính chất tam giác bằng nhau:

Do $S.ABC$ là hình chóp đều nên $\Delta SAC=\Delta SBC$

$\Rightarrow \widehat{ASC}=\widehat{BSC}$

Xét $\Delta ASH$ và $\Delta BSH$:

$\left\{\begin{matrix} SH \, \, \, chung\\ \widehat{ASC}=\widehat{BSC}\\ SA=SB \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \Delta ASH=\Delta BSH$

Mà $\widehat{AHS}=90^{o}$ (Do $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SC$ nên $AH\perp SC$)

$\Rightarrow \widehat{BHS}=90^{o}$

$\Rightarrow BH\perp SC$

Vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} SC\perp AH\\ SC\perp BH \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow SC\perp (AHB)$


Cách 2: Theo $vector$

Gọi $O$ là tâm của $\Delta ABC$

Do $S.ABC$ là hình chóp đều nên $SO\perp (ABC)$

$\Rightarrow SO\perp AB$ (do $AB\subset (ABC))$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$OC\perp AB$ (Do $\Delta ABC$ đều)

Ta có: $AH\perp SC$ (Do $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SC$)

Xét tích $\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}$

$= (\overrightarrow{SO}+\overrightarrow{OC}).\overrightarrow{AB}$

$=\overrightarrow{SO}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{AB}$

Vì $\left\{\begin{matrix} SO\perp AB\\ OC\perp AB \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{SO}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{AB}=0+0=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}=0$

$\Rightarrow AB\perp SC$


Vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} SC\perp AH\\ SC\perp AB \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow SC\perp (AHB)$




B. Tính thể tích hình chóp $S.ABH$

Ở đây ngoài cách tính gián tiếp thể tích hình chóp $S.ABH$ thông qua thể tích hình chóp $S.ABH$ như cách của bạn $longqnh$ thì mình xin trình bày cách tính trực tiếp thể tích hình chóp $S.ABH$


Ta có $\Delta ASC$ cân tại $S$, áp dụng định lý hàm $cos$, có:

$\cos\widehat{ASC}=\frac{SA^{2}+SC^{2}-AC^{2}}{2.SA.AC}$

$\cos\widehat{ASC}=\frac{4a^{2}+4a^{2}-a^{2}}{8a^{2}}$

$\cos\widehat{ASC}=\frac{7}{8}$

Xét $\Delta SHA$ vuông tại $H$:

$SH=\cos\widehat{ASC}.SA=\frac{7}{8}.2a=\frac{7a}{4}$

Áp dụng định lý $Pitago$ trong $\Delta SHA$ vuông tại $H$:

$AH=\sqrt{SA^{2}-SH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{49a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{15}}{4}$

Chứng minh $AH=HB$ (làm như cách $1$ ở phần $A$), ta có $\Delta AHB$ cân tại $H$

Mà $M$ trung điểm $AB$

$\Rightarrow HM\perp AB$

Xét $\Delta HAM$ vuông tại $M$:

$MH=\sqrt{HA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{\frac{15a^{2}}{16}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{4}$

$\Rightarrow S_{\Delta HAB}=\frac{1}{2}.HM.AB=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{11}}{4}.a=\frac{a^{2}\sqrt{11}}{8}$

$\Rightarrow V_{S. HAB}=\frac{1}{3}.SM.S_{\Delta HAB}=\frac{1}{3}.\frac{7a}{4}.\frac{a^{2}\sqrt{11}}{8}=\frac{7a^{3}\sqrt{11}}{96}$


Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#51
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: $x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}\ge 3\sqrt{x}$
Giải :
$ĐK:$ .......
Xét TH $x=0$ (là ngh bpt)
Xét TH : $x\neq 0$ , chia cả 2 vế của bpt ta được :
$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x-4+\frac{1}{x}}\geq 3$ $(1)$
Đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=a$ $(a>0)$
Ta có $(1)$ trở thành : $a+\sqrt{a^{2}-6}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}-6}\geq 3-a$ $(2)$
Giải $(2)$ tìm được $a$ ,từ đó tìm nghiệm bpt.

#52
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

làm cách trâu bò anh em thông cảm:

điều kiện: $ x \geq 2+\sqrt{3} \vee 0 \leq x \leq 2-\sqrt{3} $

$ BPT \Leftrightarrow x+1 \geq 3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1} $

bình phương 2 vế ta được:

$ x^2+2x+1 \geq 9x+x^2-4x+1-6\sqrt{x^3-4x^2+x} $

$ \Leftrightarrow x \leq 2\sqrt{x^3-4x^2+x} $

$ \Leftrightarrow 4x^2-17x+4 \geq 0 $

$ \Leftrightarrow x \leq \frac{1}{4} \vee x \geq 4 $

kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất PT là: $ x \in [0;\frac{1}{4}] \cup [4;+\infty] $


Tiến ơi mình nghĩ bài của Tiến có vấn đề ở

$ BPT \Leftrightarrow x+1 \geq 3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1} $


Về lý thuyết thì đúng nhưng ở dòng tiếp theo

bình phương 2 vế ta được:

$ x^2+2x+1 \geq 9x+x^2-4x+1-6\sqrt{x^3-4x^2+x} $


Thì điều này chưa chắc, vì biểu thức $3\sqrt{x}-\sqrt{x^2-4x+1}$ vẫn có thể âm, cho nên giả sử

$3>-5$, bình phương hai vế, được $9>25$ (sai)

Mình nghĩ nếu như biểu thức là $3\sqrt{x}+\sqrt{x^2-4x+1}$ thì việc bình phương là hợp lý

Cho nên mình nghĩ đáp án tuy đúng nhưng chỉ vô tình đúng mà thôi, chứ còn cách trình bày thì mình thấy không ổn cho lắm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 10-07-2012 - 15:09

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#53
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
Giải bất phương trình $g(x)>\sqrt {f(x)}$(1)
$$(1) \Leftrightarrow f(x) \geq 0 \wedge g(x)>0 \wedge g^2(x)>f(x)$$
Do đó bất phương trình $g(x) \leq \sqrt{f(x)}$(2) tương đương với phủ định (1) giải như sau
$$(2) \Leftrightarrow g(x)\leq 0 \vee f(x) \geq g^2(x)$$

#54
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Sao cái câu tổ hợp em dung quy tắc nhân lại khác nhỉ. Chỉ cần tính cái số 4 người được chọn ngẫu nhiên cũng thấy khác:
Số cách chọn là: 25.24.23.22=303600(cách chọn)

Trong lí luận của em thì đã vô tình thừa nhận đến việc sắp thứ tự trong đó. Nếu lí luận theo quy tắc nhân thì em phải chia lại cho số cách hoán đổi vị trí của $4$ em học sinh, tức là lấy $303600$ chia cho $4!$.

#55
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI B CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


b1.png

b2.png

b3.png

b4.png


Xem rõ hơn tại đây


Trên đây là cách giải của Bộ GD&ĐT, các bạn vẫn tiếp tục trình bày bài toán theo cách của mình (nếu có mở rộng càng tốt)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 10-07-2012 - 21:30

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#56
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Đáp án bài tổ hợp nên giải theo phần bù mới hay hơn, Nếu yêu cầu chọn $8$ em có cả nam và nữ vậy thì có bao nhiêu trường hợp chứ!

#57
PTH_Thái Hà

PTH_Thái Hà

    David Tennant -- Doctor Who

  • Thành viên
  • 522 Bài viết
Câu bất phương trình kết quả của mấy bạn đúng nhưng cách làm thì dài lắm, xét 2 trường hợp, mỗi trường hợp lại có điều kiện riêng.
Mình chuyển (x+1) sang vế phải, xét trường hợp vế phải âm và dương rồi bình phương mới chính xác
Bài BĐT thế z rồi đưa về biến xy cũng ra, điều kiện của xy tìm cũng dễ hơn
Giải nhì quốc gia. Yeah

#58
hotgirlo0o

hotgirlo0o

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Bài tích phân:
$\int_0^1\frac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx=\int_0^1\frac{2x}{x^2+2}dx-\int_0^1\frac{x}{x^2+1}dx\\ \\=\ln\left ( x^2+2 \right )|_0^1-\frac{1}{2}\ln\left ( x^2+1 \right )|_0^1\\ \\=\ln3\sqrt2.$

cách làm đúng, nhưng bạn tính nhầm KQ rồi >:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hotgirlo0o: 12-07-2012 - 10:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh