Đến nội dung

Hình ảnh

Tuyển tập một số bài phương trình, hệ phương trình thi HSG tỉnh

* * * * * 25 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 327 trả lời

#321
tra81

tra81

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết

Giải hệ PT

 

1. $\left\{ \begin{matrix} 6{x^2} - y - x{y^2} = 0\\ 5{x^2} - {x^2}{y^2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.$

 

2. $\left\{ \begin{matrix} 2{x^3} - 9{y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {2xy + 3} \right)\\ {x^2} - xy + {y^2} = 3 \end{matrix} \right.$

 

3. $\left\{ \begin{matrix}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\\ \sqrt {2x - 1} + 1 = y\left( {x - 3} \right) \end{matrix} \right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tra81: 24-09-2014 - 16:37


#322
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

Giải hệ PT

 

1. $\left\{ \begin{matrix} 6{x^2} - y - x{y^2} = 0\\ 5{x^2} - {x^2}{y^2} - 1 = 0 \end{matrix} \right.$

 

2. $\left\{ \begin{matrix} 2{x^3} - 9{y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {2xy + 3} \right)\\ {x^2} - xy + {y^2} = 3 \end{matrix} \right.$

 

3. $\left\{ \begin{matrix}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\\ \sqrt {2x - 1} + 1 = y\left( {x - 3} \right) \end{matrix} \right.$

$1$

hpt tương đương $\left\{\begin{matrix} xy^2+y=6x^2\\x^2y^2+1 =5x^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{y}{x}(\frac{1}{x}+y)=6\\(\frac{1}{x}+y)^2-2\frac{y}{x}=5 \end{matrix}\right.$

phần còn lại đặt ẩn là được

$2$

thay $3$ từ $PT(2)$ vào $PT(1)$ ta được $2x^3-9y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\Leftrightarrow x^3=8y^3\Leftrightarrow x=2y$

tới đây thế vào $PT(2)$ là được

$3$

từ $PT(1)$ suy ra $x+y=0$ nên ta có $PT(2)$ là $(x-\frac{1}{2})^2=(\sqrt{2x-1}-\frac{1}{2})^2$

phần còn lại ok rồi

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#323
King of Maths

King of Maths

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

MÌnh xin góp vui.

                  1. Tìm m để phương trình $x^2-x+m=0$ có hai nghiệm $x_1 , x_2$ sao cho $x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5$ đạt GTLN.

               2. Cho $a \neq0$. Giả sử $b.c$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình $x^2-ax-\frac{1}{2a^2}=0$.CMR 
$b^4+c^4\geq 2+\sqrt{2}$.


$*$Chúng ta sẽ cùng tiếp theo:
Bài 3: Cho a,b,c,d $\in$ R. CMR một trong 4 phương trình sau có nghiệm.
$ax^2+2bx+c=0$, $bx^2+2cx+d=0$, $cx^2+2dx+a=0$, $dx^2+2ax+b=0$.

 

Bài 4: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. CMR trỏng phương trình $x^2-2ax+b=0$, $x^2-2bx+c=0, x^2-2cx+a=0$ có ít nhất 1 phương trình có 2 nghiệm phân biệt và ít nhất 1 phương trình vô nghiệm.


:icon12:  :icon12:  :icon12:  :ukliam2:  :ukliam2: :ukliam2:  :icon12:  :icon12:  :icon12:  :icon12:


#324
anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

 

MÌnh xin góp vui.

                  1. Tìm m để phương trình $x^2-x+m=0$ có hai nghiệm $x_1 , x_2$ sao cho $x_1^4+x_2^4-x_1^5-x_2^5$ đạt GTLN.

               

1/  Dễ thấy ${x_{1}}+{x_{2}}=1$ ${x_{1}}{x_{2}}=m$

và $m\leq \frac{1}{4}$ để phương trình có 2 nghiệm.

${x_{1}}^{4}+{x_{2}}^{4}-{x_{1}}^{5}-{x_{2}}^{5}={x_{1}}^{4}(1-{x_{1}})+{x_{2}}^{4}(1-{x_{2}})={x_{1}}{x_{2}}({x_{1}}^3+{x_{2}}^3)$ $=m({x_{1}}^2-{x_{1}}{x_{2}}+{x_{2}}^{2})=m+3m^2\leq 7/16$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 06-09-2015 - 22:28

:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 


#325
anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

3/ 4/ Chứng minh bằng phản chứng

3/ Giả sử toàn bộ các phương trình đều vô nghiệm, xét delta' và cộng vế theo vế

dễ dàng thu được:

$a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd<0$

$(a-c)^2+(b-d)^2<0 $ (vô lí)

Vậy tồn tại phương trình có nghiệm

4/ Sai khi a=b=c=1 => mỗi phương trình chỉ có 1 nghiệm

Khi a,b,c khác đôi một:

Giả sử toàn bộ phương trình ít hơn 2 nghiệm xét delta' và cộng vế theo vế

dễ dàng thu được::

$a^2+b^2+c^2\leq 3$ 

Điểm này mâu thuẫn vì ta sẽ có$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2=9 => (a^2+b^2+c^2)\geq 3$

(đẳng thức không xảy ra )

Vậy tồn tại phương trình có 2 nghiệm.


:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 


#326
anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Bài 2: Vì biến đổi không khó nhưng hơi dài nên mình xin không ghi

$b+c=a$ và $bc=-\frac{1}{2a^2}$

$b^4+c^4=(b+c)(b^3+c^3)-bc(b^2+c^2)=....=a^4+\frac{1}{2a^4}+2\geq \sqrt{2}+2$ (cauchy)

=>đpcm


:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 


#327
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Câu này thế nào mọi người : 

Câu 1:$\sqrt{x^2-x+1}=\frac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}$

Câu 2: $(1+\frac{1}{x})\sqrt{x^2+2x+2}+(1-\frac{1}{x})\sqrt{x^2-2x+2}=5$



#328
canletgo

canletgo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^{3}-12x-y^{3}+6y^{2}-16=0 \\ 4x^{2}+2\sqrt{4-x^{2}}-5\sqrt{4y-y^{2}}+6=0 \end{matrix}\right.$


Alpha $\alpha$ 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh