Tính giá trị của : $$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$
#1
Đã gửi 24-07-2012 - 17:57
Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$
Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$
- battlebrawler, Victim of love và haichau0401 thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#2
Đã gửi 26-12-2015 - 23:35
Bài toán [Tham Lang]
Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và 2 tham số $m, n$ sao cho $$\left\{\begin{array}{1}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) \ne 0 \\xy+yz+zx =0 \\(x+y+z)^3 =nxyz \end{array}\right.$$
Tính giá trị của :
$$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$
Từ giả thiết ta có :
$$nxyz=(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz$$
$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(n+3)xyz\Rightarrow \dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xz}+\dfrac{z^2}{xy}=n+3$$
Lại có : $xy+yz+zx=0\Rightarrow \dfrac{xy}{z^2}=-\dfrac{x+y}{z}\Rightarrow \dfrac{x+y+z}{z}=1-\dfrac{xy}{z^2}$
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=\dfrac{z}{x+y+z}\Rightarrow \sum \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=1$ $(*)$
Đặt $a=\dfrac{x^2}{yz};b=\dfrac{y^2}{zx};c=\dfrac{z^2}{xy}\Rightarrow a+b+c=n+3$ và $abc=1$.
Từ $(*)$ lại có : $\sum \dfrac{a}{a-1}=1\Leftrightarrow \sum a(b-1)(c-1)=(a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca=3$
Từ đây ta có :
$$P=\dfrac{1}{a+m}+\dfrac{1}{b+m}+\dfrac{1}{c+m}=\dfrac{(ab+bc+ca)+2m(a+b+c)+3m^2}{abc+m(ab+bc+ca)+m^2(a+b+c)+m^3}=\dfrac{3(m+1)^2+2mn}{(m+1)^3+m^2n}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-12-2015 - 11:00
- chanhquocnghiem, nhungvienkimcuong, Quoc Tuan Qbdh và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-12-2015 - 08:33
Từ giả thiết ta có :
$$nxyz=(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(xy+yz+zx)(x+y+z)-3xyz=x^3+y^3+z^3-3xyz$$
$$\Rightarrow x^3+y^3+z^3=(n+3)xyz\Rightarrow \dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{xz}+\dfrac{z^2}{xy}=n+3$$
Lại có : $xy+yz+zx=1$$\Rightarrow \dfrac{xy}{z^2}=-\dfrac{x+y}{z}\Rightarrow \dfrac{x+y+z}{z}=1-\dfrac{xy}{z^2}$
$\Rightarrow \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=\dfrac{z}{x+y+z}\Rightarrow \sum \dfrac{\dfrac{z^2}{xy}}{\dfrac{z^2}{xy}-1}=1$ $(*)$
Đặt $a=\dfrac{x^2}{yz};b=\dfrac{y^2}{zx};c=\dfrac{z^2}{xy}\Rightarrow a+b+c=n+3$ và $abc=1$.
Từ $(*)$ lại có : $\sum \dfrac{a}{a-1}=1\Leftrightarrow \sum a(b-1)(c-1)=(a-1)(b-1)(c-1)\Leftrightarrow ab+bc+ca=3$
Từ đây ta có :
$$P=\dfrac{1}{a+m}+\dfrac{1}{b+m}+\dfrac{1}{c+m}=\dfrac{(ab+bc+ca)+2m(a+b+c)+3m^2}{abc+m(ab+bc+ca)+m^2(a+b+c)+m^3}=\dfrac{3(m+1)^2+2mn}{(m+1)^3+m^2n}$$
Đoạn này là như thế nào đây $xy+yz+zx=1$
hoanglong2k : Gõ nhầm, đã sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-12-2015 - 18:51
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh