Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 4 Bình chọn

[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)

psw

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 30-07-2012 - 19:12

*
Phổ biến

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng @};- là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường.
Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.


$\boxed{\text{Bài toán 1}}$ Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy. Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên.

$\boxed{\text{Bài toán 2}}$ Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$.

$\boxed{\text{Bài toán 3}}$ Trong một lớp học, mỗi học sinh có không quá ba người bạn thân.Chứng minh rằng có thể chia lớp ra làm $2$ tổ sao cho ở mỗi tổ mỗi bạn có không quá $1$ bạn thân.

$\boxed{\text{Bài toán 4}}$ Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất.

$\boxed{\text{Bài toán 5}}$ ( @};-) Giải phương trình nghiệm nguyên $ x^3+y^3+z^3=4^n.{n^3} $.

$\boxed{\text{Bài toán 6}}$ Tìm các nguyên hàm sau:
$$I= \int \dfrac{x^{5}}{x^{6}-x^{3}-2}dx;J= \int\dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+6}dx;Q= \int\dfrac{dx}{x(x^{10}+1)}$$

$\boxed{\text{Bài toán 7}}$ Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
$$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 8}}$ Cho trước số nguyên dương $n$, chứng minh rằng:
$$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \binom{n}{k} ^2}{(2k+1)\binom{2n}{2k}} = \dfrac{2^{4n} (n!)^4}{(2n)! (2n+1)!}$$

$\boxed{\text{Bài toán 9}}$ ( @};-) Bên trong hình vuông cạnh $100$, ta đặt một đường gấp khúc $L$ có tính chất là mỗi điểm của hình vuông đều cách $L$ một khoảng không lớn hơn $0,5$. Chứng minh rằng khi đó trên $L$ có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1$ nhưng "khoảng cách" dọc theo $L$ giữa chúng không nhỏ hơn $198$

$\boxed{\text{Bài toán 10}}$ Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ biết $AB=CD=2a$ và góc giữa đường thẳng $AB$ và $CD$ là $60^o$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua $MN$ và song song với $AB$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-04-2013 - 16:19
Cập nhật danh sách


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2012 - 10:51

$\boxed{\text{Bài toán 11}}$ Tìm tất cả các song ánh $f:\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{N^*}$ sao cho:
$$ f(f(n)) \le \dfrac{n+f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N^*}$$

$\boxed{\text{Bài toán 12}}$ Giải phương trình
$$\sqrt{x^2-p}+2{x^2-1}=x$$
Với $p$ là hằng số thực.

$\boxed{\text{Bài toán 13}}$ Trong cuộc tranh giải cờ tướng, mỗi đấu thủ giành được $\dfrac{1}{2}$ số điểm của mình trong các trận đấu với các đối thủ xếp ở cuối bảng. Hỏi có mấy đấu thủ tham gia tranh giải?. Biết rằng trong 1 trận đấu: tổng số điểm của 2 đấu thủ bằng 1, thắng 1 điểm, thua 0 điểm, hòa $\dfrac{1}{2}$ điểm.

$\boxed{\text{Bài toán 14}}$ Cho 4 số dương $a,b,c,d$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$$

$\boxed{\text{Bài toán 15}}$ Cho hình thang cân $ABCD$ ($AD // BC$) ngọai tiếp $(O; 1 cm)$ và nội tiếp $(I)$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$, biết $MI = 4 cm$. Tính diện tích hình thang $ABCD$

$\boxed{\text{Bài toán 16}}$ Tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$. Chứng minh rằng $f(x)$ có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất.

$\boxed{\text{Bài toán 17}}$ ( @};-) Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song với nhau. Với mỗi cạnh của đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa nhất với cạnh đó nhìn trên cạnh đó. Chứng minh rằng tổng các góc đó là $180^\circ$.

$\boxed{\text{Bài toán 18}}$ ( @};-) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$$x^{10}+y^{10}=z^{10}+199$$

$\boxed{\text{Bài toán 19}}$ Giải phương trình:
$$sin ^{2006}x+cos^{2005}x =1$$

$\boxed{\text{Bài toán 20}}$ Chứng minh rằng:
$$\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k(x-k)^n=n!, \forall x\in \mathbb{R}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 04-12-2012 - 21:56

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-11-2012 - 22:51

$\boxed{\text{Bài toán 21}}$ ( @};-) Qua một điểm $M$ ngoài $\Delta ABC$ ,chỉ bằng thước thẳng và compa dựng 1 đường thẳng cắt $\Delta ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau.

$\boxed{\text{Bài toán 22}}$ ( @};-) Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(-2;6)$, đỉnh $B$ thuộc đường thẳng $(d):x - 2y +6 = 0$. Gọi $M, N$ lần lượt là 2 điểm nằm trên cạnh $BC, CD$ sao cho $BM = CN$. Biết $AM$ giao $BN$ tại điểm $I\left (\frac{2}{5};\frac{14}{5} \right )$. Xác định toạ độ đỉnh $C$

$\boxed{\text{Bài toán 23}}$ ( @};-) Cho các số $a_{1},a_{2},..,a_{q},x_{1},x_{2},..,x_{q}$ và $m$ là các số nguyên thỏa mãn:
$$m|a_{1}x_{1}^{k}+..+a_{q}x_{q}^{k},\forall k\geq 0$$
Chứng minh rằng:
$$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$

$\boxed{\text{Bài toán 24}}$ ( @};-) Giải biện luận :
$$|x+1|+m|x-1|=(m+1)(3x+7|mx+5|)$$

$\boxed{\text{Bài toán 25}}$ Giải phương trình:
$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=1$$

$\boxed{\text{Bài toán 26}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn:$a+b+c= -abc$. TÌm min,max của:
$$P= \dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$$


$\boxed{\text{Bài toán 27}}$ Tìm $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1) $bd>ad+bc$
2) $(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$

$\boxed{\text{Bài toán 28}}$ ( @};-) Ta biết rằng nếu $OABC$ là tứ diện vuông tại $O$ thì $ABC$ là tam giác nhọn. Hỏi các bạn là với mỗi tam giác nhọn $ABC$ liệu có tồn tại tứ diện vuông $OABC$ tại $O$?


$\boxed{\text{Bài toán 29}}$ ( @};-) Xác định các hàm số liên tục $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn:
  • $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.
$\boxed{\text{Bài toán 30}}$ Cho tam giác $ABC$ có 3 góc đều nhọn, có chu vi là $20 cm$, một đường tròn nội tiếp . Một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với cạnh $BC$ cắt hai cạnh còn lại tại $MN$, và $MN = 2.4 cm$. Tính $BC$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 04-12-2012 - 21:56

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-11-2012 - 22:58

$\boxed{\text{Bài toán 31}}$
Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 \neq 0$ và
$$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n},\forall n \geq 1$$
Chứng minh rằng: $|u_{100}| > 14$

$\boxed{\text{Bài toán 32}}$ ( @};-)
Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Xét $p-$ giác đều có cạnh đơn vị. Từ các cạnh của đa giác này, dựng ở miền ngoài đa giác các hình chữ nhật kích thước $1\times k$ ($k$ là số nguyên dương), mỗi hình chữ nhật được chia thành $k$ ô đơn vị. Gọi $P$ là hình sao được tạo thành, gồm $kp$ ô đơn vị và $p-$ giác đều (như vậy có $kp+1$ miền). Mỗi miền được tô bởi một trong ba màu, các miền kề nhau có màu khác nhau. Hơn nữa đòi hỏi phép tô màu đó không có trục đối xứng. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu như vậy?

$\boxed{\text{Bài toán 33}}$
Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng
$$ \dfrac{a}{b+c^2} + \dfrac{b}{c+a^2}+ \dfrac{c}{a+b^2} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c} $$

$\boxed{\text{Bài toán 34}}$ Cho hình vuông $ABCD$, trên các cạnh $BC,CD$ tương ứng lấy các điểm $E,F$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AE,AF$ tương ứng,biết $\dfrac{CP}{AE}+\dfrac{CQ}{AF}=1$
Chứng minh: $\widehat{AEF}=45^0$.

$\boxed{\text{Bài toán 35}}$
Tìm $f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau
1) Nếu $a$ chia hết $b$ thì $f(a) \geq f(b)$
2) $f(ab)+f\left ( a^2+b^2 \right ) = f(a)+f(b)$

$\boxed{\text{Bài toán 36}}$
Giải phương trình sau :
$$31x^5+165x^4+310x^3+330x^2+155x+33=0$$

$\boxed{\text{Bài toán 37}}$
Cho hàm số $y=f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}, \left ( C \right )$. Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.

$\boxed{\text{Bài toán 38}}$
Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh xuất phát từ $A$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $a$ là cạnh lớn nhất xuất phát từ $A$ và $r$ là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng
$$a\geq (3+\sqrt{3})r$$

$\boxed{\text{Bài toán 39}}$
Tìm số nguyên $n$ với $100 \leq n \leq 1997$ thỏa $n|(2^n+2)$

$\boxed{\text{Bài toán 40}}$
Tìm tất cả các nghiệm dương của
$$x^2-x-1=2^x-log_2(x^2+2^x)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 04-12-2012 - 21:56

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-11-2012 - 10:57

$\boxed{\text{Bài toán 41}}$ ( @};-)
Một miền phẳng bị chặn có diện tích $S$ đã được phủ bởi họ hữu hạn $F$ các hình tròn. Chứng minh rằng $F$ chứa họ con các hình tròn rời nhau mà tổng diện tích không nhỏ hơn $\dfrac{S}{9}$.

$\boxed{\text{Bài toán 42}}$
Giải phương trình:
$$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$$

$\boxed{\text{Bài toán 43}}$
Xác định $c$ để phương trình sau có các nghiệm đều là số thực
$$\left (\dfrac{1+ix}{1-ix} \right )^{2000}=c$$

$\boxed{\text{Bài toán 44}}$
Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $r_1,r_2,r_3,r_4$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $OAB,OBC,OCD,ODA$ .Chứng minh rằng: Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp khi và chỉ khi:
$$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}$$.


$\boxed{\text{Bài toán 45}}$
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Tìm MAX của
$$P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$$

$\boxed{\text{Bài toán 46}}$
Cho tam giác $ABC$ có $\hat{A}=60^0$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua $I$ kẻ đường thẵng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$. Trên $BC$ lấy $P$ sao cho $3BP=BC$. Chứng minh $\widehat{BFP}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$

$\boxed{\text{Bài toán 47}}$
Tìm tam giác đều nhỏ nhất sao cho có thể đặt 3 đĩa bán kính 2,3,4 vào đó mà không chồng lên nhau.

$\boxed{\text{Bài toán 48}}$
Cho $t$ là số dương tùy ý, số các phân số tối giản $\dfrac{a}{b};0<a,b\leq t$ được kí hiệu là $d(t)$. Tính
$$S=\sum_{i=1}^{1996} d \left (\dfrac{1996}{i} \right )$$

$\boxed{\text{Bài toán 49}}$ ( @};-)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
$$S = \sqrt{a-b \cos x}+\sqrt{a-b\cos(\alpha - x)}$$
trên $(0;\alpha )$
Với $a,b,\alpha$ là các hằng số và $a\geq b>0, 0 <\alpha \leq \pi$

$\boxed{\text{Bài toán 50}}$
$ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ có độ dài các cạnh là $a,b,c,d$. Chứng minh:
$$OA.OC+OB.OD= \sqrt{abcd}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 04-12-2012 - 21:56

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-12-2012 - 21:45

$\boxed{\text{Bài toán 51}}$
Giải phương trình
$$\sqrt{ \sqrt{2}-1-x }+ \sqrt[4]{x}= \dfrac{1}{ \sqrt[4]{2} } $$

$\boxed{\text{Bài toán 52}}$
Cho tứ diện $ABCD$ ; $M$ là 1 điểm trong tứ diện.Gọi $A_1,B_1,C_1,D_1$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt cuả tứ diện. Gọi $D_a$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(B_1C_1D_1)$, các đường thẳng $D_b,D_c,D_d$ xác định tương tự.
Chứng minh $D_a,D_b,D_c,D_d$ đồng quy .

$\boxed{\text{Bài toán 53}}$ ( @};-)
Cho dãy số nguyên dương $ \{ a_n \}_{n\ge 1}^{ + \infty}$ thỏa mãn : $ a_1 = 1 ; a_2 = 2 $ và :
$$ a_{mn} = a_m \cdot a_n; a_{m+n} \le C \left( a_m + a_n \right), \forall m ;n \in \mathbb{N^{*}} $$
Trong đó $ C \ge 1 $ là hằng số cho trước. Chứng minh rằng: $ a_n = n, \forall n \in \mathbb{N^{*}} $

$\boxed{\text{Bài toán 54}}$
Ứng với mỗi $k>1$, gọi
$$M(k) = \max \left \{ \frac{n}{s(n)}|{10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \};$$
$$m(k) = \min \left \{ \frac{n}{s(n)} | {10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \}$$
Có thể biểu diễn $M(k), m(k)$ theo $k$ hay không?

$\boxed{\text{Bài toán 55}}$
Cho $x,y,z$ là các hằng số, $A,B,C$ là ba góc tam giác.Tìm $\max$ của biểu thức :
$$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$$.

$\boxed{\text{Bài toán 56}}$ ( @};-)
Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)=aP(x)+bP'(x)+cP''(x)$ với $a,b,c$ thuộc $R,a\neq0$ ,$b^2-4ac >0$.cmr nếu $Q(x)$ vô nghiệm thì $P(x)$ vô nghiệm

$\boxed{\text{Bài toán 57}}$
Cho $C$ là một điểm nằm trên đường kính $AB$ của nửa đường tròn tâm $O$, khác $A,B,O$. Hai tia vuông góc với nhau qua $C$ cắt nửa đường tròn tại $D,E$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $DC$ cắt lại đường tròn tại $K$. Chứng minh rằng nếu $K$ không trùng $E$ thì $KE$ song song $AB$


$\boxed{\text{Bài toán 58}}$ ( @};-)
Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+3xz+z^2=1 \\ 3y^2+3yz+z^2=4 \\ x^2-xy+y^2=m \end{matrix}\right.$$


$\boxed{\text{Bài toán 59}}$ ( @};-)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X,Y,Z,T,U,V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB,CD,AC,BD,AD,BC$. Gọi $E,F,G$ thứ tự là trung điểm của $XY,ZT,UV$ .Chứng minh rằng $E,F,G$ thẳng hàng.

$\boxed{\text{Bài toán 60}}$
Chứng minh tồn tại dãy số $(a_n), n=1,2,...$ là dãy tăng các số nguyên dương sao cho dãy $(b_n)$ với $b_n=k+a_n,\forall n$ chứa hữu hạn các số nguyên tố (với mọi số tự nhiên $k$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-02-2013 - 22:59

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2012 - 20:44

$\boxed{\text{Bài toán 61}}$ Tính tích phân
$$I=\int_{1}^{e}\dfrac{lnx(lnx+1)}{(1+x+lnx)^3}dx$$


$\boxed{\text{Bài toán 62}}$
Cho $a,b,c$ là các số nguyên, $b$ lẻ, xác định dãy $f(n), n=0,1,2,...$ như sau:
$$\left\{\begin{matrix} f(0)=4,f(1)=0,f(2)=2c,f(3)=3b\\ f(n+3)=af(n-1)+bf(n)+cf(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, và mọi số nguyên tố $p$ ta có: $f(p^m)$ chia hết cho $p$.

$\boxed{\text{Bài toán 63}}$
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ di động trên đoạn $BC$. Đường tròn đường kính $AM$ cắt $AB,AC$ ở $P,Q$. Tiếp tuyến của nó tại $P,Q$ cắt nhau ở $T$. Tìm quĩ tích $T$ khi $M$ di động

$\boxed{\text{Bài toán 64}}$
Giải phương trình
$$\sin x\sin 2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}$$

$\boxed{\text{Bài toán 65}}$
Kéo dài các trung tuyến của tam giác $ABC$ cho đến khi chúng cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác, gọi độ dài của các đoạn này là $M_a,M_b,M_c$ .Chứng minh:
$$M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{4}{3}(m_a+m_b+m_c)$$ và
$$M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}(a+b+c)$$.
Khi nào thì có dấu đẳng thức?

$\boxed{\text{Bài toán 66}}$
Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng: $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$
Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$

$\boxed{\text{Bài toán 67}}$
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ là
$$x^2+y^2-x-5y+4=0$$
$H$ thuộc đường thẳng $\Delta :3x-y-4=0$, trung điểm của $AB$ là $M(2,3)$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

$\boxed{\text{Bài toán 68}}$
Cho tam giác $ABC$. Tìm min và max của:
$$F=sinA^{n}sinB^{n+1}sinC^{2n+1}$$

$\boxed{\text{Bài toán 69}}$
CMR tổng các bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi.

$\boxed{\text{Bài toán 70}}$
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai: $f"(x) \geq 0$ trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và $a \in \mathbb R$ cố định .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=f(x)-(a-x)f'(x)$ trên $\mathbb R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-02-2013 - 11:12

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#8 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-01-2013 - 23:51

$\boxed{\text{Bài toán 71}}$
Cho $n\geq 3$ và $a_k> 0, k = 1,2,...,n$. Đặt $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i; P= a_1.a_2...a_n$
Bất đẳng thức sau có đúng không?
$$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$$

$\boxed{\text{Bài toán 72}}$
Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $a(n)$ là số chữ số $1$ của $n$ (trong hệ thập phân).
Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$

$\boxed{\text{Bài toán 73}}$
Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$

$\boxed{\text{Bài toán 74}}$
Cho $n$ là một số nguyên dương và $b$ là số nguyên lớn nhất mà bé hơn $\left( \sqrt[3]{28} - 3 \right)^{-n}$. Chứng minh rằng $b$ không chia hết cho $6$

$\boxed{\text{Bài toán 75}}$
Cho $2$ phương trình $x^2+px+q=0$ và $x^2+mx+n=0$ ($p,q,m,n$ nguyên) có $1$ nghiệm chung không phải là số nguyên. Chứng minh $p=m,q=n$.


$\boxed{\text{Bài toán 76}}$ ( @};-)
Trong không gian cho 2 đường thẳng $x,y$ chéo nhau. Giả sử $A,B$ là 2 điểm cố định trên $ x$ và $CD$ là đoạn thẳng có chiều dài $l$ cho trước có thể di chuyển trên $y $.Tìm vị trí của $CD$ sao cho diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất

$\boxed{\text{Bài toán 77}}$ ( @};-)
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
$\textbf{ (i) } f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $
$\textbf{ (ii) } n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$


$\boxed{\text{Bài toán 78}}$
Cho trước số thực dương $a$, đường thẳng $d$ và 2 điểm $A,B$ nằm cùng phía đối với $d$. Dựng điểm $M \in d$ sao cho $AM+MB =a$

$\boxed{\text{Bài toán 79}}$
Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $$

$\boxed{\text{Bài toán 80}}$
Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-02-2013 - 21:54

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#9 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-02-2013 - 22:11

$\boxed{\text{Bài toán 81}}$

Giải hệ phương trình:

 

$$\left\{\begin{matrix}4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}&=\dfrac{85}{3}\\2x+ \dfrac{1}{x+y}&=\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 82}}$
Giải phương trình:
$$4\cos15x\cos5x\cos3x\cos x + \cos15x\cos5x + \cos3x\cos x = 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 83}}$ @};-
Gọi $L$ là tập các điểm nguyên trên mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi cặp $3$ điểm $A, B, C$ thuộc $L$ thì tồn tại điểm thứ tư $D$ sao cho phần trong của các đoạn thẳng (phần đoạn thẳng trừ đi $2$ đầu mút) $AD, BD, CD$ không chứa một điểm nào thuộc $L$.


$\boxed{\text{Bài toán 84}}$
Từ một điểm $P$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $PE,PF$ tới đường tròn ($E,F$ là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua $P$, cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$ ($A$ nằm giữa $P$ và $B$) và cắt $EF$ tại $Q$.
a) Khi cát tuyến đi qua $O$, Chứng minh : $\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB} \textbf{ (1)}$

b) Đẳng thức $(1)$ có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm $O$?
Hãy chứng minh điều đó.

$\boxed{\text{Bài toán 85}}$
Tính $\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $

$\boxed{\text{Bài toán 86}}$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương: $ a_1,...,a_n$ thỏa mãn:
$$\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i$$

$\boxed{\text{Bài toán 87}}$
Giải phương trình:
$$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$
Trong đó $n$ là số nguyên dương.

$\boxed{\text{Bài toán 88}}$ @};-
Cho tứ diện $SABC$ có $\widehat{ASB} = \alpha ; \widehat{BSC} = 45^o $. Xác định giá trị góc $\alpha$ để góc nhị diện cạnh $SC$ bằng $60^o$

$\boxed{\text{Bài toán 89}}$ @};-
Cho $k$ là số nguyên dương và $S_n=\left \{1,2,...,n \right \},(n \geq 3) $. Hàm $f:S_n^k \to S_k$ thỏa mãn: nếu $a,b \in S_n^k$ và chúng khác nhau ở tất cả các vị trí thì $f(a) \neq f(b)$. Chứng minh rằng có $i \in \left \{1,2,...,k \right \}$ sao cho:
$$f(a_1,a_2,...,a_k)=a_i ,\forall a=(a_1,a_2,...,a_k)\in S_n^k$$.


$\boxed{\text{Bài toán 90}}$
Cho tứ giác $ABCD$, điểm $M$ di động trên đoạn $AB$. Hai đường tròn $(MAC),(MBD)$ giao nhau tại $M,N$.
Tìm Quĩ tích điểm $N$.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#10 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 487 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 22:50

$\boxed{\text{Bài toán 91}}$  @};-

Trong 1 hình vuông có cạnh bằng 1, đặt một hình $F$ mà khoảng cách giữa 2 điểm bất kì của nó không bằng 0,0001. Chứng minh rằng diện tích của hình đó không lớn hơn
a) 0,34
b)0,287

 

$\boxed{\text{Bài toán 92}}$ @};-

Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác và $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$(x+y+z)\left (\dfrac{xc^2}{a^2}+\dfrac{ya^2}{b^2}+\dfrac{zb^2}{c^2}  \right ) \geq \left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}  \right ) (a^2yz+b^2zx+c^2xy)$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 93}}$ @};-

Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$

 

$\boxed{\text{Bài toán 94}}$

Bạn Bình và Nam chơi một trò chơi khá thú vị với một đa thức bậc ít nhất là 4 được cho sau đây :
$$x^{2n}+...x^{2n-1}+...x^{2n-2}+....................+...x+1$$
Họ lần lượt điền vào các hệ số còn trống trong đa thức trên bằng các số thực tùy ý . Nếu quá trình điền số hoàn tất mà đa thức nhận được vô nghiệm thì bạn Bình là người thắng cuộc , còn ngược lại thì bạn Nam thắng.
Nếu bạn Bình điền số trước thì ai sẽ đảm bảo có chiến thuật thắng cuộc chơi

 

$\boxed{\text{Bài toán 95}}$

Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2},SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA, N\in BC$ sao cho $AM=CN=x (0 < x < 2a)$. Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.

 

$\boxed{\text{Bài toán 96}}$

Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$

$$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\ \\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1 $$
Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 97}}$

1)Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$
2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$$(y+1)^{x}=y!+1$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 98}}$

Xét tập $A=\{1;2;...;n\}$. Với bất kì tập con khác rỗng $M$ của $A$,

$$M=\left \{ m_1;m_2,...,m_k \right \}, m_1 > m_2 > ... > m_k$$

Đặt

$$S(M) = m_1 -  m_2 + m_3 +... + (-1)^{k+1}m_k$$

Tính $S = \sum_{M \subset A} S(M)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 99}}$ @};-

Cho tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng trong mặt phẳng có tổng độ dài là 1. CMR tồn tại đường thẳng $l$ sao cho hình chiếu của tất cả các đoạn đó trên $l$ có tổng độ dài nhỏ hơn $\dfrac{2}{\pi}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 100}}$

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Chứng minh rằng
$$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-05-2013 - 15:53

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#11 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-04-2013 - 14:52

Em đã tổng hợp lại topic này (có điều chèn link vào thì em chưa biết, em có up bản tex ai rành tex thì chèn vào hộ em :D):

Bản pdf. bản tex.


1. Xem cách đặt tiêu đề bài viết tại đây.

2. Cách gõ công thức trên diễn đàn tại đây.

3. Hướng dẫn vẽ hình trên diễn đàn tại đây.

4. Nếu bài viết của mình giúp ích cho bạn, bạn có thể nhấn "thích" thay vì post "cảm ơn".

"Ban nick" chứ không phải "Band nick" nha =))






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh