Chủ đề này có 1 trả lời

[MIM]

Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)

[chanhquocnghiem]

Cho $x,y>0$, chứng minh rằng:

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$

(Đề thi đề nghị Olympic $30-4$ lần V năm $1999$)

Mệnh đề cần chứng minh tương đương với :

$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}> \frac{1998^x}{1998^y}+\frac{2000^x}{2000^y}$

$\Leftrightarrow 2000^x\left ( \frac{1}{1997^y}-\frac{1}{2000^y} \right )> 1998^x\left ( \frac{1}{1998^y}-\frac{1}{2001^y} \right )$ (*)

Ta chỉ cần chứng minh mệnh đề (*).

Vì $x> 0$ nên ta có : $2000^x> 1998^x> 0$ (1)

Mặt khác vì $y> 0$ và $0< \frac{1997}{2000}< \frac{1998}{2001}< 1$ nên :

$\frac{1}{1997^y}> \frac{1}{2000^y}> 0$ (2)

Và $1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y> 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y> 0$ (3)

(1),(2),(3) $\Rightarrow 2000^x.\frac{1}{1997^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1997}{2000} \right )^y \right ]> 1998^x.\frac{1}{1998^y}.\left [ 1-\left ( \frac{1998}{2001} \right )^y \right ] \Rightarrow$ (*)

Bài toán được chứng minh xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 23-12-2015 - 13:54