Chủ đề này có 3 trả lời

[MIM]

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

[superpower]

Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:

$(1) f(1)=1;$

$(2)f(-1)=-1;$

$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$

Từ $(4)$ cho $y=0 => f(x) \geq f(x) +f(0) => f(0) \leq 0 $

Mặt khác, cho $y=-1 $ vào $(4),(5) $, ta suy ra được $f(x-1) \geq f(x) -1 $ và $f(x-1) \leq f(x) $

Suy ra $f(x) \geq f(x-1) \geq f(x) -1 $

Cho $x=1 => 1=f(1) \geq f(0) \geq f(1) -1 =0 $

Do đó $f(0)=0 $

Từ $(5)$ thay $y=1-x $, xét $x \in (0,1) $ , ta được

$1=f(1) \leq f(x) + f(1-x) +1 \leq 1 $ ( do $1-x \in (0,1) $ )

Do đó $1=f(x) +f(1-x) + 1 => -f(x) =f(1-x) $

Thay $x=1-x => f(x) =0 , \forall x \in [0,1) $

Đặt $g(x)= x-f(x) $

Khi đó , $(4),(5) $ được viết lại

$g(x+y) \leq g(x) + g(y) $

Và $g(x+y) \geq g(x) +g(y) -1 $

Thay $y=1$, ta được $g(x+1) \leq g(x) $

Mặt khác, thay $y=-1$, ta được $g(x-1) \leq g(x) $

Suy ra $g(x) \leq g(x+1) $

Từ đó suy ra $g(x) =g(x+1) $

Suy ra $f(x+1) =f(x)+1 $

Mà ta đã có $f(x)=0, \forall x \in [0,1) $

Do đó $f(x) = [x] $

Thử lại thỏa

Cảm ơn huykinhcan99. Đã sửa. Mình gõ lộn tí 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 27-10-2016 - 22:36

[huykinhcan99]

Từ $(4)$ cho $y=0 => f(x) \geq f(x) +f(0) => f(0) \leq 0 $

Mặt khác, cho $y=-1 $ vào $(4),(5) $, ta suy ra được $f(x-1) \geq f(x) -1 $ và $f(x-1) \leq f(x) $

Suy ra $f(x) \leq f(x-1) \leq f(x) -1 $

Cho $x=1 => 1=f(1) \leq f(0) \leq f(1) -1 =0 $

Do đó $f(0)=0 $

Từ $(5)$ thay $y=1-x $, xét $x \in (0,1) $ , ta được

$1=f(1) \leq f(x) + f(1-x) +1 \leq 1 $ ( do $1-x \in (0,1) $ )

Do đó $1=f(x) +f(1-x) + 1 => -f(x) =f(1-x) $

Thay $x=1-x => f(x) =0 , \forall x \in [0,1) $

Đặt $g(x)= x-f(x) $

Khi đó , $(4),(5) $ được viết lại

$g(x+y) \leq g(x) + g(y) $

Và $g(x+y) \geq g(x) +g(y) -1 $

Thay $y=1$, ta được $g(x+1) \leq g(x) $

Mặt khác, thay $y=-1$, ta được $g(x-1) \leq g(x) $

Suy ra $g(x) \leq g(x+1) $

Từ đó suy ra $g(x) =g(x+1) $

Suy ra $f(x+1) =f(x)+1 $

Mà ta đã có $f(x)=0, \forall x \in [0,1) $

Do đó $f(x) = [x] $

Thử lại thỏa

 

 

hình như đoạn này bị ngược dấu...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 27-10-2016 - 22:31

[mathtp]

khó hiểu quá