Tìm $f$ thỏa mãn $ f(1)=1;...;f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$
#1
Đã gửi 10-08-2012 - 10:36
$(1) f(1)=1;$
$(2)f(-1)=-1;$
$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$
$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$
$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$
- Tham Lang, ducthinh26032011, Element hero Neos và 2 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 27-10-2016 - 18:26
Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây:
$(1) f(1)=1;$
$(2)f(-1)=-1;$
$(3)f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$
$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$
$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$
Từ $(4)$ cho $y=0 => f(x) \geq f(x) +f(0) => f(0) \leq 0 $
Mặt khác, cho $y=-1 $ vào $(4),(5) $, ta suy ra được $f(x-1) \geq f(x) -1 $ và $f(x-1) \leq f(x) $
Suy ra $f(x) \geq f(x-1) \geq f(x) -1 $
Cho $x=1 => 1=f(1) \geq f(0) \geq f(1) -1 =0 $
Do đó $f(0)=0 $
Từ $(5)$ thay $y=1-x $, xét $x \in (0,1) $ , ta được
$1=f(1) \leq f(x) + f(1-x) +1 \leq 1 $ ( do $1-x \in (0,1) $ )
Do đó $1=f(x) +f(1-x) + 1 => -f(x) =f(1-x) $
Thay $x=1-x => f(x) =0 , \forall x \in [0,1) $
Đặt $g(x)= x-f(x) $
Khi đó , $(4),(5) $ được viết lại
$g(x+y) \leq g(x) + g(y) $
Và $g(x+y) \geq g(x) +g(y) -1 $
Thay $y=1$, ta được $g(x+1) \leq g(x) $
Mặt khác, thay $y=-1$, ta được $g(x-1) \leq g(x) $
Suy ra $g(x) \leq g(x+1) $
Từ đó suy ra $g(x) =g(x+1) $
Suy ra $f(x+1) =f(x)+1 $
Mà ta đã có $f(x)=0, \forall x \in [0,1) $
Do đó $f(x) = [x] $
Thử lại thỏa
Cảm ơn huykinhcan99. Đã sửa. Mình gõ lộn tí
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 27-10-2016 - 22:36
- Element hero Neos, ineX, dungxibo123 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-10-2016 - 22:27
Từ $(4)$ cho $y=0 => f(x) \geq f(x) +f(0) => f(0) \leq 0 $
Mặt khác, cho $y=-1 $ vào $(4),(5) $, ta suy ra được $f(x-1) \geq f(x) -1 $ và $f(x-1) \leq f(x) $
Suy ra $f(x) \leq f(x-1) \leq f(x) -1 $
Cho $x=1 => 1=f(1) \leq f(0) \leq f(1) -1 =0 $
Do đó $f(0)=0 $
Từ $(5)$ thay $y=1-x $, xét $x \in (0,1) $ , ta được
$1=f(1) \leq f(x) + f(1-x) +1 \leq 1 $ ( do $1-x \in (0,1) $ )
Do đó $1=f(x) +f(1-x) + 1 => -f(x) =f(1-x) $
Thay $x=1-x => f(x) =0 , \forall x \in [0,1) $
Đặt $g(x)= x-f(x) $
Khi đó , $(4),(5) $ được viết lại
$g(x+y) \leq g(x) + g(y) $
Và $g(x+y) \geq g(x) +g(y) -1 $
Thay $y=1$, ta được $g(x+1) \leq g(x) $
Mặt khác, thay $y=-1$, ta được $g(x-1) \leq g(x) $
Suy ra $g(x) \leq g(x+1) $
Từ đó suy ra $g(x) =g(x+1) $
Suy ra $f(x+1) =f(x)+1 $
Mà ta đã có $f(x)=0, \forall x \in [0,1) $
Do đó $f(x) = [x] $
Thử lại thỏa
hình như đoạn này bị ngược dấu...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 27-10-2016 - 22:31
#4
Đã gửi 29-10-2016 - 20:39
khó hiểu quá
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh