Topic nhận đề phương trình nghiệm nguyên, đồng dư
#21
Đã gửi 26-02-2013 - 12:00
Bài làm:
Ta có: (*) $\Leftrightarrow (x^2+y^2+1)(x^2-2y^2-5)=0$
$\Leftrightarrow (x^2-2y^2-5)=0$
Dễ dàng nhận thấy x lẻ
Đặt $\left | x \right |=2k+1$ thì $(2k+1)^2=5+2y^2$
$\Leftrightarrow y^2=2k^2+2k-2$
$\Rightarrow y$ chẵn (1)
Đặt y=2n.
Ta có: $(2k+1)^2=5+2y^2$
$\Leftrightarrow 2(k^2+k-1)=2y^2$
$\Leftrightarrow k^2+k=y^2+1$
$\Leftrightarrow k(k+1)=4n^2+1$ ( vô lý vì VP chẵn còn VT lẽ )
Vậy pt đã cho vô nghiệm
#22
Đã gửi 26-02-2013 - 12:12
$8y^{2}-25=3xy+5x$ (1)
Lời giải:Phương trình (1) $\Leftrightarrow 9y^{2}-25-(3xy+5x)=y^{2}$
$\Leftrightarrow (3y-5)(3y+5)-x(3y+5)=y^{2}$
$\Leftrightarrow (3y+5)(3y-5-x)=y^{2}$
$\Leftrightarrow 9(3y+5)(3y-5-x)-25=9y^{2}-25$
$\Leftrightarrow 9(3y+5)(3y-5-x)-25=(3y-5)(3y+5)$
$\Leftrightarrow 9(3y+5)(3y-5-x)-(3y-5)(3y+5)=25$
$\Leftrightarrow (3y+5)(27y-9x-45-3y+5)=25$
$\Leftrightarrow (3y+5)(24y-9x-40)=25$
Lập bảng để tìm ra $x,y$
Kết luận: Vậy $(x;y)\epsilon {(-7;-2);(-5;0);(-31;-10)}$
#23
Đã gửi 26-02-2013 - 17:43
Giải phương trình nghiệm nguyện :
$\sqrt{x + 21} + 14 = \sqrt[3]{x + 42} - 7$.
#24
Đã gửi 26-02-2013 - 20:24
Bài giải:
Ta có: $x^3+y^3=1995$
$\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=1995$
Vì $1995\vdots 3$ và $3xy(x+y)\vdots 3$ nên $(x+y)\vdots 3$
$\Rightarrow (x+y)^3\vdots 9$ và $3(x+y)\vdots 9$
$\rightarrow$ VT chia hết cho 9
Lại có: 1995 không chia hết cho 9
$\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm
#25
Đã gửi 26-02-2013 - 22:22
$x^{3}-5x+7=3^{y}$
Đáp án:$x^{3}-5x+7=3^{y}$
Với y=0
$x^{3}-5x+7=1$
$x^{3}-5x+6=0$
suy ra x=2 hoặc x=3
Với y=1
suy ra $x^{3}-5x+4=0$
suy ra x=1 hoặc x=4
Với y$\geq$2 suy ra $3^{y}\vdots 9$ suy ra vế trái chia hết cho 9
xét x=3k suy ra $x^{2}-5x+7=(3k+2)^{2}-5.(3k+2)+7=9k^{2}+9k+3$không chia hết cho 9 (loại)
Xét x=3k+1 suy ra $x^{2}-5x+7=(3k+2)^{2}-5.(3k+2)+7=9k^{2}-3k+1$không chia hết cho 9(loại)
Xét x=3k+2 suy ra $x^{2}-5x+7=(3k+2)^{2}-5.(3k+2)+7=9k^{2}-3k+1$không chia hết cho 9(loại)
Vậy phương trình có nghiệm là(3;0);(2;0);(1;1);(4;1)
#26
Đã gửi 27-02-2013 - 16:37
Chứng minh rằng phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{3}}={{z}^{5}}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
#27
Đã gửi 27-02-2013 - 23:17
Bài giải:
Ta có: $x^2\equiv 0;1;3;4;5;9$(mod 11).
Trong khi đó: $y^5-4\equiv 6;7;8$ (mod 11)
Vậy pt đã cho vô nghiệm.
#28
Đã gửi 01-03-2013 - 18:20
Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$x^{2} + y^{2} + z^{2} + u^{2} = 2xyzu$.
#29
Đã gửi 27-03-2013 - 22:14
Đề bài: Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$
Đáp án:
Ta chứng minh: nếu a^2 + b^2 chia hết cho số nguyên tố n = 4k+3 thì a và b chia hết cho n $\left ( a;b\in Z \right )$
Nếu a và b không chia hết cho n thì UCLN(a;n)=UCLN(b;n)=1
Áp dụng định lý Fermat thì
$a^{n-1}\equiv 1$(mod n) và $b^{n-1}\equiv 1$(mod n)
$\Rightarrow$$a^{4k+2}+b^{4k+2}\equiv 2$(mod n) (1)
Mà $a^{4k+2}+b^{4k+2}= \left (a^{2} \right )^{2k+1}+\left (b^{2} \right )^{2k+1}\vdots (a^2+b^2) \vdots n$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow 2\vdots n$
Do n là số nguyên tố nên n=2, không có dạng 4k+3 ( vô lí)
Vậy a và b chia hết cho n
Áp dụng : Theo bài ra $x^{2}+ 2x + 4y^{2} = 187$
$\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}+4y^{2}=188$
Do $188 \vdots 47 \Rightarrow \left ( \left ( x+1 \right )^{2}+4y^{2} \right ) \vdots 47$
Mà 47= 4.11+3 nên $\Rightarrow \left ( x+1 \right )\vdots 47$ và $2y\vdots 47$
$\Rightarrow \left ( x+1 \right )^{2}+4y^{2}\vdots 47^2\Rightarrow 188\vdots 47^2$ (vô lý)
Vậy phương trình vô nghiệm
#30
Đã gửi 06-04-2013 - 18:19
Tìm số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $$a+b^{2}\vdots a^{2}b-1$$
lời giải
theo đề bài ta có $a+b^{2}\vdots a^{2}b-1$ $\Rightarrow $ $a+b^{2}$ =$(a^{2}b-1)K$ ($K$$\epsilon$ $ $N*)
$\Rightarrow $ $a+b^{2}$= $a^{2}bK - K$
$\Rightarrow $ $a+K$=$b(a^{2}K-b)$ (1)
Đặt $a^{2}K-b$=$m$ ( $m$ $\epsilon $ N*)
$\Rightarrow $$a^{2}K=b+m$
và $a+K=bm$
$\Rightarrow $$a^{2}K-K-a-1$=$b+m-bm-1$=$(m-1)(1-b)$
$\Rightarrow $$(a+1)(Ka-k-1)$=$(m-1)(1-b)$ $\leq $0 (do $m,b \epsilon N*)$
$\Rightarrow $$(a+1)(Ka-k-1)$$\leq $0 $\Rightarrow $ $Ka-K-1 \leq $0
$\Rightarrow $$K(a-1) \leq 1$ $\Rightarrow $ $K(a-1)=0 hoặc 1$
với $K(a-1)$=0 $\Rightarrow $$a=1$ ( vì $K\epsilon N*$)
thay vào đề bài $\Rightarrow $ $b^{2} +1 \vdots b-1$
$\Rightarrow $ $2\vdots b-1$ $\Rightarrow $ $b-1\epsilon \left \{ 1,2 \right \}$
$\Rightarrow $$b=2 hoặc 3$
với $K(a-1)$=1 $\Rightarrow $$K=1 và a=2$ thay vào (1) $\Rightarrow $ $2+1=b(4-b)$
$\Rightarrow $ $(b-1)(b-3)=0$ $\Rightarrow $ $b=1 hoặc b=3$
Vậy các nghiệm của Pt là $(a,b)$=$(1,1) ;(1,2) ,(2,1);(2,3)$
tàn lụi
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh