Cho n là số tự nhiên; x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y=1. Chứng minh BĐT $x^{n}+y^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$
Chứng minh BĐT $x^{n}+y^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$
Bắt đầu bởi Albert einstein vip, 23-08-2012 - 15:31
#1
Đã gửi 23-08-2012 - 15:31
Albert einstein vip
-
- Thành viên
-
- 118 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 23-08-2012 - 16:55
BlackSelena
-
- Hiệp sỹ
-
- 1549 Bài viết
$\mathbb{Sayonara}$
Bđt cần chứng minh
$\Leftrightarrow 2^{n-1}.(x^n+y^n) \geq 1$
$\Leftrightarrow (1^n + 1^n).(1^n+ 1^n) ...(1^n+1^n)(x^n+y^n) \geq 1$
Mặt khác, theo bđt Holder, ta có $(1^n + 1^n).(1^n+ 1^n) ...(1^n+1^n)(x^n+y^n) \geq (x+y)^n = 1$
Vậy ta có đpcm $Q.E.D$
P/s: last night .. hú hu hù
$\Leftrightarrow 2^{n-1}.(x^n+y^n) \geq 1$
$\Leftrightarrow (1^n + 1^n).(1^n+ 1^n) ...(1^n+1^n)(x^n+y^n) \geq 1$
Mặt khác, theo bđt Holder, ta có $(1^n + 1^n).(1^n+ 1^n) ...(1^n+1^n)(x^n+y^n) \geq (x+y)^n = 1$
Vậy ta có đpcm $Q.E.D$
P/s: last night .. hú hu hù
- WhjteShadow yêu thích
#3
Đã gửi 23-08-2012 - 18:22
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Áp dụng BĐT Trung bình lũy thừa ta cóCho n là số tự nhiên; x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x+y=1. Chứng minh BĐT $x^{n}+y^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$
$$\frac{x^n+y^n}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^n=\frac{1}{2^{n-1}}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 23-08-2012 - 18:24
- L Lawliet, BlackSelena và WhjteShadow thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
