Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] Trận 1 - PT - HPT - BPT - HBPT Đại số


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 56 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 24/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 1 có 38 toán thủ tham gia nên sau trận này, 09 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

*
Phổ biến

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$



Toán thủ ra đề MHS33 Oh Yeah
Toán thủ ra đề không phải làm bài

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
kphongdo

kphongdo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$

Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
$3(x^2+y^2-10xy-13x+5y+3)=2(x^3+3xy^2-5)$
$\Leftrightarrow (2x-1)(x^2+3y^2-x+15y+19)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
2x-1=0\\
x^2+3y^2-x+15y+19=0
\end{bmatrix}$
Xét $2x-1=0$ thì $x=\frac{1}{2}$. Khi đó hệ trở thành: $y^2-\frac{13}{4}=0 \Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}$
Vậy $(x,y)=(1,\frac{\sqrt{13}}{2});(1,-\frac{\sqrt{13}}{2})$
Xét $x^2+3y^2-x+15y+19=0$
$\Leftrightarrow \left( x-\frac{1}{2} \right) ^{2}+\frac{3}{4}\, \left( 2\,y+5 \right) ^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2}\\
y=-\frac{5}{2}
\end{matrix}\right.$
Thử lại thấy không thỏa mãn !
Vậy $(x,y)=(1,\frac{\sqrt{13}}{2});(1,-\frac{\sqrt{13}}{2})$

Điểm bài: 10
S=48−(20−20)+3×10+0+0=78

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:42
Ghi điểm


#4
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
Trần Tuấn Minh xin giải bài toán:
Ta có hệ đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} 2x^3+6xy^2=10\\ 3x^2+3y^2-30xy-39x+15y+9=0 \end{matrix}\right.$
Cộng từng vế hệ trên ta được:
$2x^3-3x^2+39x-19+3y^2(2x-1)+30xy-15y=0$
$\Leftrightarrow 3y^2(2x-1)+15y(2x-1)+(2x-1)(x^2-x+19)=0$
$\Leftrightarrow (2x-1)(x^2-x+3y^2+15y+19)=0$
$\Leftrightarrow (2x-1)(x^2-x+3y^2+15y+19)=0$ (*)
$\Leftrightarrow (2x-1)[(x-\frac{1}{2})^2+3(y+\frac{5}{2})^2]=0$
Do đó:
$x=\frac{1}{2}$ hoặc
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{-5}{2} \end{matrix}\right.$
**Với $x=\frac{1}{2}$ Thay vào (1) ta có:
$\frac{1}{8}+\frac{3}{2}y^2=5$
$\Leftrightarrow y^2=\frac{13}{4}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{\sqrt{13}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$
**Với $x=\frac{1}{2}, y=\frac{-5}{2}$ Thay vào (1) Thấy không thỏa mãn.
Kết Luân:

Phương trình đã cho có 2 cặp nghiệm (x,y) thỏa mãn là:
$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$

Điểm bài: 9.5
S=48−(20−20)+3×9.5+0+0=76.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:45
Ghi điểm

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#5
longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$


Bài giải trận 1: longqnh - MHS13
- Nhân phương trình $(1)$ với $8$ và phương trình $(2)$ với $-12$, ta được hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}
8{x^3} + 24x{y^2} = 40{\rm{ }}(3) \\
-12{x^2} - 12{y^2} + 120xy + 156x - 60y - 36 = 0{\rm{ }}(4) \\
\end{array} \right.\]
- Lấy $(3) + (4)$, ta được:
\[\begin{array}{l}
8{x^3} + 24x{y^2} - 12{x^2} - 12{y^2} + 120xy + 156x - 60y - 76 = 0 \\
<=> \left( {8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1} \right) + \left( {150x - 75} \right) + \left( {24x{y^2} - 12{y^2}} \right) + \left( {120xy - 60y} \right) = 0 \\
<=> {\left( {2x - 1} \right)^3} + 75\left( {2x - 1} \right) + 12{y^2}\left( {2x - 1} \right) + 60y\left( {2x - 1} \right) = 0 \\
<=> \left( {2x - 1} \right)\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 12{y^2} + 60y + 75} \right] = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2} \\
{\left( {2x - 1} \right)^2} + 12{y^2} + 60y + 75 = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
- Với $x=\frac{1}{2}$ thay vào $(1) => y=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}$
- Với \[\begin{array}{l}
{\left( {2x - 1} \right)^2} + 12{y^2} + 60y + 75 = 0 \\
<=> {\left( {2x - 1} \right)^2} + 3{\left( {2y + 5} \right)^2} = 0 \\
=> \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{2} \\
y = - \frac{5}{2} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Thử lại thấy $x=\frac{1}{2}$ và $y = - \frac{5}{2}$ không thỏa mãn hệ => loại

KẾT LUẬN: Hệ đã cho có cặp nghiệm $(x,y)$ \[\left( {\frac{1}{2}, \pm \frac{{\sqrt {13} }}{2}} \right)\]

Điểm bài: 10
S=48−(20−20)+3×10+0+0=78

SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#6
NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
em giải bài: (bài trên của em bị sai nên em sửa lại)

xét $ x= 0$ thì phương trình (1) trở thành $ 0 =5$ (vô lí) nên $ x=0 $ không là nghiệm

xét $ x \neq 0$ thì:

$ PT(1) \Leftrightarrow y^2=\frac{5-x^3}{3x} $

thế vào phương trình (2) ta được:

$ (2) \Leftrightarrow x^2-13x+3+\frac{5-x^3}{3x}-5y(2x-1)=0 $

$ \Leftrightarrow (2x-1)(x^2-19x-5)-5xy(2x-1)=0 $

$ \Leftrightarrow (2x-1)(x^2-19x-5-15xy)=0 $

TH1: $ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}; y=\frac{\sqrt{13}}{2} $

TH2: $ x^2-19x-5=15xy $

rút $ y $ theo $ x $ ta được: $ y=\frac{x^2-19x-5}{15x} $

thay vào PT(1) của hệ ta được:

$ (1) \Leftrightarrow x^3+3x\frac{(x^2-19x-5)^2}{225x^2}=5 $

$ \Leftrightarrow 76x^4-38x^3+351x^2-185x+25=0 $

$ \Leftrightarrow 76(x^4-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{16}x^2)+\frac{1385}{4}x^2-185x+25=0 $ (*)

dễ thấy các đại lượng trong ngoặc đều không âm nên phương trình (*) vô nghiệm

vậy hệ có nghiệm duy nhất là $ (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2}) $

Điểm bài: 7
S=48−(21−20)+3×7+0+0=68

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:46
Ghi điểm

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#7
Banglangtimhy

Banglangtimhy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
xét x=o ta có theo phương trình (1) 0=5 vô lí
xét x$$\neq $$ 0
nhân cả 2 vế phương trình 2 với x ta có
$$3x^{3}+3xy^{2}-30x^{2}y-39x^{2}+15xy+9x=o$$ (3)
lấy phương trình 1 trừ phương trình 3 ta có
$$15xy\left ( 2x-1 \right )=2x^{3}-39x^{2}+9x+15\Leftrightarrow 15xy\left ( 2x-1 \right )=\left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2} -19x-5\right )$$
hay x=$$\frac{1}{2}$$
và y=$$\frac{x^{2}-19x-5}{15x}$$ (4)
thay (4) vào (1) ta có$$ x^{3}+\frac{3x\left ( x^{2}-19x-5 \right )^{2}}{\left ( 15x \right )^{2}}=5$$
$$\Leftrightarrow 76x^{4}-38x^{3}+351x^{2}-185x+25=0$$ (5)
$$76\left ( x^{4} -\frac{38}{76}x^{3}+\frac{1}{16}x^{2}\right )+4x^{2}+\left ( \frac{1369}{4}x^{2}-185x+25 \right )\Leftrightarrow 76\left ( x^{2}-\frac{x}{4} \right )^{2}+4x^{2}+\left ( \frac{37}{2} x-5\right )^{2}\geq 0$$ vậy
với$$ x=\frac{1}{2}$$ thay vào pt 1 thì $$y=\frac{13}{2}$$
vậy hệ phương trình có 1 cặp nghiệm duy nhất ($$\frac{1}{2},\frac{13}{2}$$)


Điểm bài: 7
S=48−(21−20)+3×7+0+0=68

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:47
Ghi điểm


#8
Banglangtimhy

Banglangtimhy

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết
xét x=o pt1 0=5 vô lí
xét $$x\neq 0$$ nhân cả hai vế phương trình 2 với 3x ta có
15xy\left ( 30x^{2}-15x \right )=2x^{3}-39x^{2}+9x+5\Leftrightarrow 15xy\left ( 30x^{2} -15x\right )=\left ( 2x-1 \right )\left ( x^{2}-19x-5 \right )$$
hay $$x=\frac{1}{2}$$ thay vào phương trình 1 ta có $$y=\frac{13}{2}$$
với $$y=\frac{x^{2}-19x-5}{15x}$$ thay vào pt 1 ta có (3) $$76x^{4}-38x^{2}+351x^{2}-185x+25=o\Leftrightarrow 76\left (x^{2} -\frac{x}{4} \right )^{2}+4x^{2}+\left ( \frac{37}{2}x-5 \right )^{2}=o$$
ta thấy VT$$\geq 0$$
vậy pt 3 vô nghiệm
vậy hệ có 1 cặp nghiệm duy nhất $$\left ( \frac{1}{2} ,\frac{13}{2}\right )$$

#9
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết

Giải


Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ.


Do đó:
Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra:
$$y^2 = \dfrac{5 - x^3}{3x}$$


Thế vào (2), ta được:
$x^2 + \dfrac{5 - x^3}{3x} - 13x + 3 + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{2x^3 - 39x^2 + 9x + 5}{3x} + 5y(1 - 2x) = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2x - 1)(x^2 - 19x - 5)}{3x} - 5y(2x - 1) = 0$

$\Rightarrow (2x - 1)\left[\dfrac{x^2 - 19x - (x^3 + 3xy^2)}{3x} - 5y \right] = 0$

$\Leftrightarrow (2x - 1)\dfrac{- x + 19 + x^2 + 3y^2 + 15y}{3} = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x^2 - x + 3y^2 + 15y + 19 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\(x - \dfrac{1}{2})^2 + 3(y + \dfrac{5}{2})^2 = 0\end{array}\right.$


$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{-5}{2}\end{array}\right. (KTM)\end{array}\right.$

Với $x = \dfrac{1}{2}$, từ (1), suy ra: $y = \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$.

Thử lại, ta nhận cả 2 cặp nghiệm nói trên.

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm: $(x; y) = { (\dfrac{1}{2}; \dfrac{\sqrt{13}}{2}); (\dfrac{1}{2}; \dfrac{- \sqrt{13}}{2})} $


Điểm bài: 10

S=48−(24−20)+3×10+4+0=78

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:49
Ghi điểm

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#10
Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
Gọi là mở rộng chắc là hơi quá đáng vì trên thực tế, hướng giải này khá quen thuộc.
Giải hệ: $\left\{\begin{array}{l}a(x) + b(x).t(y) = c(x)\\f(x) + m.t(y) + h(y).g(x) = 0\end{array}\right.$

Chìa khóa để giải bài toán này đó là tìm được một cặp nghiệm $(x; y) = (x_0; y_0)$ của hệ sao cho $g(x_0) = 0$ (Đây là hạn chế của "mở rộng" này).

Khi đó, từ phương trình thứ nhất của hệ: $t(y) = \dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)}$

Thế vào phương trình thứ hai:
$f(x) + m.\dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)} + h(y).g(x) = 0$


Do $x_0; y_0$ là một nghiệm của hệ thỏa mãn $g(x_0) = 0$

Do đó, ta có thể tách được:

$$f(x) + m.\dfrac{c(x) - a(x)}{b(x)} = (x - x_0).k(x)$$

Từ đó, giải các hệ thu được.
:)
VD: Giải hệ:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1 - x^{1000}}(y + 2) = 1 \,\, (1)\\x^3 + x^2y + x^2 + y = x - 1 \,\, (2)\\(x + 1)^2 + 5y + 3xy^2 + 4 = 0\,\, (3)\end{array}\right.$

Giải

ĐK: $1 - x^{1000} \geq 0 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1$
Nhận thấy $(x; y) = (0; -1)$ là một nghiệm của hệ.
Ta sẽ lần lượt biến đổi (2) và (3):
Ta có:
$(2) \Leftrightarrow x^3 + x^2(y + 1) + y + 1 = x$

$\Leftrightarrow x^3 + (x^2 + 1)(y + 1) = x \Leftrightarrow y + 1 = \dfrac{x - x^3}{x^2 + 1}$


Lại có:
$(3) \Leftrightarrow x^2 + 2x + 3xy^2 + 5y + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x + 5(y + 1) + 3xy^2 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 2x + 5\dfrac{x - x^3}{x^2 + 1} + 3xy^2 = 0$

$\Leftrightarrow x(x + 2 + 5\dfrac{1 - x^2}{x^2 + 1} + 3y^2) = 0$

Do $-1 \leq x \leq 1$ nên $x + 2 + 5\dfrac{1 - x^2}{x^2 + 1} + 3y^2 > 0$


Với x = 0, suy ra $y = -1$.
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#11
diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 318 Bài viết
Từ (1) ta có $y^{2}=\frac{5-x^{3}}{3x}$ thế vào (2) ta được $\frac{5-x^{3}}{3x}+x^{2}-13x+3=5y(2x-1)\Leftrightarrow (2x-1)\begin{pmatrix} \frac{x^{2}-19x-5}{3x} \end{pmatrix}=5y(2x-1)\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x^{2}-19x-5-15xy=0$ với điều kiện $x\mp 0$ ($x=0$ không là nghiệm của hệ)
Với $x=\frac{1}{2}$ thay vào (1) ta có $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \end{pmatrix}^{3}+\frac{3}{2}y^{2}=5\Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}$ (Thử vào thỏa mãn)
Trường hợp còn lại ta kết hợp với phương trình (1) ta có hệ phương trình mới :$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3xy^{2}=5\\ x^{2}-15xy-19x-5=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^{3}+3xy^{2}-x^{2}+15xy+19x=0\Leftrightarrow x^{2}-x+3y^{2}+15y+19=0$
coi $x$ là ẩn ta có $\Delta _{x}=1^{2}-4(3y^{2}+15y+19)=-3(2y+5)^{2}\leq 0$ để hệ phương trình có nghiệm thì $\Delta _{x}\geq 0\Rightarrow y=\frac{-5}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ thử vào (1) thấy không là nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{13}}{2});(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{13}}{2})$


Điểm bài: 10
S=48−(35−20)+3×10+0+0=63

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:51
Ghi điểm


#12
chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
từ (2):$x^{2}+y^{2}-10xy-13x+5y+3=0\Leftrightarrow y=\frac{5(2x-1)+\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2}hoặc y=\frac{5(2x-1)-\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2}$
từ 1:$\Rightarrow 0\leq x\leq \sqrt[3]{5}$
*$ y=\frac{5(2x-1)+\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2}$
thế vào 1:$\Rightarrow (2x-1)(148x^{2}-37x+10+15x\sqrt{96x^{2}-48x+13})=0\Leftrightarrow x=0,5\Rightarrow y=\sqrt{3,25}hoặc y=-\sqrt{3,25}$
tương tự: *$y=\frac{5(2x-1)-\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2}$
thế vào 1:ta được: $(2x-1)(148x^{2}-37x+10+15x\sqrt{96x^{2}-48x+13})=0\Leftrightarrow x=0,5 hoặc 148x^{2}-37x+10+15x\sqrt{96x^{2}-48x+13}=0(*)$
giải (*):$(*)\Leftrightarrow 304x^{4}-152x^{3}+1404x^{2}-740x+100=0$
mở rộng:đối với các hệ có 1 pt dạng $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+t=0$thì ta nên biến đổi về pt bậc 2 ẩn x,hay y.tính ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào pt kia!
ta xét đạo hàm, rồi lập bảng biến thiên,$\Rightarrow (*)vô nghiệm$
vậy nghiệm của hệ là:(x;y) là: $(0,5;\sqrt{3,25});(0,5;-\sqrt{3,25})$


Điểm bài: 8
S=48−(36−20)+3×8+1+0=57

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:52
Ghi điểm


#13
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$



Toán thủ ra đề MHS33 Oh Yeah
Toán thủ ra đề không phải làm bài

Dễ thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình. Từ phương trình (1) ta có:
\[{y^2} = \frac{{5 - {x^3}}}{{3x}}(3)\]
Từ phương trình (2) ta có:
\[\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - 10xy - 13x + 5y + 3 = 0 \\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 13x + 3 = 5y\left( {2x - 1} \right)(4) \\
\end{array}\]
Thế (3) vào (4) ta được:
\[\begin{array}{l}
{x^2} + \frac{{5 - {x^3}}}{{3x}} - 13x + 3 = 5y\left( {2x - 1} \right) \\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} - 19x - 5} \right)}}{{3x}} = 5y\left( {2x - 1} \right) \\
\end{array}\]
Vậy ta suy ra:
+) TH1:
\[\begin{array}{l}
2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \\
\Rightarrow {y^2} = \frac{{5 - {x^3}}}{{3x}} = \frac{{13}}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{ \pm \sqrt {13} }}{2} \\
\end{array}\]
Thử lại ta thấy các nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt {13} }}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt {13} }}{2}} \right)$ thõa mãn hệ phương trình đã cho.
+) TH2:
\[\frac{{{x^2} - 19x - 5}}{{3x}} = 5y(5)\]
Từ (5) và (3) ta suy ra:
\[\begin{array}{l}
{y^2} + 5y = \frac{{5 - {x^3}}}{{3x}} + \frac{{{x^2} - 19x - 5}}{{3x}} = - \frac{{{x^2}}}{3} + \frac{x}{3} - \frac{{19}}{3} \\
\Rightarrow \frac{{{x^2}}}{3} - \frac{x}{3} + {y^2} + 5y + \frac{{19}}{3} = 0 \\
\Leftrightarrow \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{2}} \right)^2} = 0 \\
\Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right) \\
\end{array}\]
Thử lại ta thấy $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)$ không thõa mãn hệ phương trình đã cho.
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt {13} }}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt {13} }}{2}} \right)$

Điểm bài: 10
S=48−18+3×10+5+0=65

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:54
Ghi điểm

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#14
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$


$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$


Nhận thấy $(x,y)=(0,0)$ không thoả hệ phương trình

Xét phương trình $x^3 +3xy^2=5$

Đặt $f(x)=x^{3}+3xy^{2}-5$, với $y$ là tham số

$\Rightarrow f'(x)=3x^{2}+3y^{2}> 0,\forall x \in \mathbb{R}$


$\Rightarrow f(x)$ đồng biến và liên tục trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow f(x)=0$ có $1$ giá trị $x$ thoả mãn

TH1: Nếu $x<0$ thì $x^3 +3xy^2< 0$ (loại do $5>0$)

TH2: Nếu $x>0$ thì $x^3 +3xy^2> 0$ (nhận do $5>0$)

Mà hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nghiệm phương trình $f(x)=0$ là nghiệm duy nhất

Vậy ta có 1 giá trị $x>0$

Đặt $f(y)=x^{3}+3xy^{2}-5$, với $x$ là tham số

$\Rightarrow f'(y)=6xy$

Ta có $x>0$ và hàm $f(y)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

TH1: Nếu $y<0$ thì $f'(y)< 0$

$\Rightarrow f(y)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ nghiệm phương trình $f(y)=0$ là nghiệm duy nhất


TH2: Nếu $y>0$ thì $f'(y)> 0$

$\Rightarrow f(y)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ nghiệm phương trình $f(y)=0$ là nghiệm duy nhất

Vậy có tối đa 2 nghiệm $y$ và 2 nghiệm ấy trái dấu nhau (nếu có)

Xét phương trình
$x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0$

$\Leftrightarrow y^2 -5y(2x-1)+x^{2}-13x+3=0$

Giải phương trình bậc 2 theo ẩn $y$:

$\Delta =96x^{2}-48x+13> 0;\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow y^2 -5y(2x-1)+x^{2}-13x+3=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{(10x-5)+\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2}\\ y=\frac{(10x-5)-\sqrt{96x^{2}-48x+13}}{2} \end{bmatrix}$

Giả sử $10x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{\sqrt{13}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$

Với 2 cặp nghiệm $(x,y)=\begin{Bmatrix} (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2});(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{13}}{2}) \end{Bmatrix}$

Thay vào phương trình
$x^3 +3xy^2=5$

Ta nhận cả 2 cặp nghiệm $(x,y)=\begin{Bmatrix} (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2});(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{13}}{2}) \end{Bmatrix}$

Ngoài ra hệ không còn cặp nghiệm nào khác do ta đã tìm được 1 giá trị $x>0;(x=\frac{1}{2})$ và 2 giá trị $y$ trái dấu nhau ($y=\frac{\sqrt{13}}{2}$ và $y=-\frac{\sqrt{13}}{2}$.


KẾT LUẬN: Hệ phương trình có $2$ giá trị $(x,y)$


$$(x,y)=\begin{Bmatrix} (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2});(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{13}}{2}) \end{Bmatrix}$$

Điểm bài: 10
S=48−18+3×10+0+0=60

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:55
Ghi điểm

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#15
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$



Toán thủ ra đề MHS33 Oh Yeah
Toán thủ ra đề không phải làm bài


Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{u+v}{2}\\ y=\frac{u-v}{2} \end{matrix}\right.$

Khi đó hệ thành $\left\{\begin{matrix} u^{3}+v^{3}=10 \\ 2u^{2}-3v^{3}+4u+9v=3 \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix} u^{3}+v^{3}=10 (3)\\ 6u^{2}-9v^{3}+12u+27v=9(4) \end{matrix}\right.$

Lấy (3)+(4) ta được:$(u^{3}+6u^{3}+12u+8)+(v^{3}-9v^{2}+27v-27)=0$

<=>$(u+2)^{3}+(v-3)^{3}=0$

<=>$u=1-v$

Thay vào (3) ta được: $v^{3}+1-3v+3v^{2}-v^{3}=10$

<=>$v^{2}-v-3=0$

<=>$\begin{bmatrix} v=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\\ v=\frac{1-\sqrt{13}}{2} \end{bmatrix}$

Với $v=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ =>$u=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ =>$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$

Với $v=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ =>$u=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ =>$\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{13}}{2} \end{matrix}\right.$

Thử lại thỏa nghiệm.

Vậy hệ đã cho có nghiệm $(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2})$ và $(\frac{1}{2};\frac{-\sqrt{13}}{2})$


Điểm bài: 10
S=48−18+3×10+0+0=60

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:58
Ghi điểm


#16
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
Thí sinh BoFake SBD 06 xin được giải bài toán.
Giải:
Từ (1) ta có $x(x^{2}+3y^{2})=5$ nên $x>0$.
Ta biến đổi phương trình (1) thành :$y^{2}=\frac{5-x^{3}}{3x}$ (ĐK:$\sqrt[3]{5}\geq x$)
Xét phương trình (2) ẩn là $y$ ta sẽ có :
$y^{2}-y(10x-5)+x^{2}-13x+3=0 (3)$
Ta có:$\Delta =(10x-5)^{2}-4(x^{2}-13x+3) =96x^{2}-48x+13$
Mà $96x^{2}-48x+13=96(x-\frac{1}{4})^{2}+7> 0$
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
$y_{1}=\frac{-10x+5+\sqrt{\Delta }}{2}$

$y_{2}=\frac{-10x+5-\sqrt{\Delta }}{2}$

*Xét $\frac{5-x^{3}}{3x}=(\frac{-10x+5+\sqrt{\Delta }}{2})^{2}

\Leftrightarrow \frac{20-4x^{3}}{3x}= (5-10x)^{2}+\Delta -10(2x-1)\sqrt{\Delta }

\Leftrightarrow 592x^{3}-444x^{2}+114x-30(2x^{2}-x)\sqrt{\Delta }-20= 0$
Xét $\sqrt[3]{5}\geq x>\frac{1}{2}$ thì $VT>0$

Xét $x<\frac{1}{2}$ thì $VT<0$

Nên $x=\frac{1}{2}$ (Thõa mãn )
*Xét $\frac{5-x^{3}}{3x}=(\frac{-10x+5-\sqrt{\Delta }}{2})^{2}$
tương tự ta cũng có $x=\frac{1}{2}$
Thay $x=\frac{1}{2}$ vào phương trình $(1)$ ta sẽ có $y= \frac{\sqrt{13}}{2}$ hoặc $y= -\frac{\sqrt{13}}{2}$
Vậy $(x;y)= \left \{ (\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2});(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{13}}{2}) \right \}$

Điểm bài: 9
S=48−20+3×9+0+0=55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 21:59
Ghi điểm

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#17
chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
em xin bổ sung phần mở rộng của em chút!
một số bài sử dụng phương pháp giống như bài trên:
1)$\left\{\begin{matrix} y^{2}=(5x+4)(4-x) & & \\ y^{2}-5x^{2}-4xy+16x-8y+16=0 & & \end{matrix}\right.$
2)$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+xy-y^{2}-5x+y+2=0 & & \\ x^{2}+y^{2}+x+y-4=0 & & \end{matrix}\right.$
3)giải hệ pt nghiệm nguyên:
$\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}-xy+2y-2x=7 & & \\ x^{3}+y^{3}+x-y=8 & & \end{matrix}\right.$

#18
Celia

Celia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$



Toán thủ ra đề MHS33 Oh Yeah
Toán thủ ra đề không phải làm bài


Nhân $PT(1)$ với 2, $PT(2)$ với 3, ta có
$$\left\{\begin{matrix}
2x^3+6xy^2=10 & \\ 3x^2+3y^2-30xy-39x+15y+9=0
&
\end{matrix}\right.$$

TRừ vế với vế của (1) cho (2).Ta có
$$2x^3+6xy^2-3x^2-3y^2+30xy+39x-15y-9=10$$
$$\Leftrightarrow (2x^3-x^2)+(6xy^2-3y^2)-(2x^2-x)+(38x-19)+(30xy-15y)=0$$
$$\Leftrightarrow x^2(2x-1)+3y^2(2x-1)-x(2x-1)+19(2x-1)+15y(2x-1)=0$$
$$\Leftrightarrow (2x-1)(x^2+3y^2-x+19+15y)=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
2x-1=0(*) & \\ x^2-x+3y^2-x+19+15y=0(**)
&
\end{bmatrix}$$

Xét (**) : $$ x^2-x+19+3y^2+15y=0 $$
$$ \Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+3(y+\frac{5}{2})^2=0 $$
$$ \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\ y=\frac{-5}{2}
&
\end{matrix}\right. $$
Thay vào PT(1) thấy không thỏa $\Rightarrow $ loại

Xét : $$ 2x-1 =0 $$
$$ \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} $$
Thay $ x=\frac{1}{2} $ vào Pt (1)
$\frac{1}{8}+\frac{3}{2}y^2=5\Leftrightarrow y^2=\frac{13}{4}\Leftrightarrow y = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} $ ( thỏa mãn )


Vậy nghiệm của hệ là $ \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\ y=\frac{\sqrt{13}}{2}
&
\end{matrix}\right. $ hoặc $ \left\{\begin{matrix}
x=\frac{1}{2} & \\ y=\frac{-\sqrt{13}}{2}
&
\end{matrix}\right. $

Điểm bài: 10
S=48−25+3×10+0+0=53

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 22:01
Ghi điểm

I don't know what I want, so don't ask me
’Cause I'm still trying to figure it out
Don't know what's down this road, I'm just walking
Trying to see through the rain coming down
Even though I'm not the only one
Who feels the way I do


-----------=============----------Dân Anh Lanh Chanh Học Toán---------------------===========--------Hình đã gửi


#19
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Đề bài trận 1
Giải hệ Phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$



Toán thủ ra đề MHS33 Oh Yeah
Toán thủ ra đề không phải làm bài



Giải hệ phương trình:

$$ \left\{ \begin{array}{l}x^3 +3xy^2=5 \ \ \ (1) \\x^2 + y^2 -10xy -13x +5y +3 = 0 \ \ \ (2)\end{array} \right.$$

Bài làm
Đặt $x=a+b,y=a-b$ ta có:
+,$x^{3}+3xy^{2}=5$ trở thành:
$(a+b)^{3}+3(a+b)(a-b)^{2}=5$
$\Leftrightarrow 4a^{3}+4b^{3}=5$
+, $x^{2}+y^{2}-10xy -13x +5y+3=0$ trở thành:
$(a+b)^{2} + (a-b)^{2} -10(a^{2}-b^{2}) -13(a+b) +5(a-b)+3=0$
$\Leftrightarrow 12b^{2}-8a^{2}=8a +18b-3$
Khi đó hệ đã cho trở thành:
$ (I) \left\{\begin{matrix} 4a^{3}+4b^{3} = 5 & & \\ 12b^{2}-8a^{2} = 8a+18b-3 & & \end{matrix}\right.$
Giải hệ $(I)$ bằng phương pháp hệ số bất định:
$(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8a^{3}+8b^{3} = 10 & & \\ \alpha(12b^{2}-8a^{2} - 8a-18b+3)=0 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 8a^{3}+8b^{3}+12b^{2} \alpha -8a^{2} \alpha -8a \alpha -18b \alpha +3 \alpha - \frac{5}{4}=0 (*)$
Ta cần tìm $u,v,\alpha$ thỏa : $VT(*)=(2a+u)^{3} + (2b+v)^{3}$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u^{3}+v^{3}=3\alpha -10 & & \\ v=\alpha & &\\ v=-3 & & \end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u=2 & & \\ v=-3 & &\\ \alpha =-3 & & \end{matrix}\right.$
Khi đó
$(I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})= \frac{5}{4} & & \\ 2a+2 +2b-3= 3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b= \frac{1}{2} & & \\ ab = \frac{-3}{4} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a= \frac{1+\sqrt{13}}{4} & & \\ b = \frac{1-\sqrt{13}}{4} & & \end{matrix}\right .$
hoặc
$\left\{\begin{matrix} a= \frac{1-\sqrt{13}}{4} & & \\ b = \frac{1+\sqrt{13}}{4} & & \end{matrix}\right .$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x= \frac{1}{2} & & \\ y = \frac{-\sqrt{13}}{2} & & \end{matrix}\right. $
hoặc
$\left\{\begin{matrix} x= \frac{1}{2} & & \\ y = \frac{\sqrt{13}}{2} & & \end{matrix}\right .$
Vậy hệ có 2 nghiệm $(x;y)= (\frac{1}{2};\frac{-\sqrt{13}}{2}) ;$
$(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{13}}{2})$

Mở rộng:
Dạng hệ phương trình mà 1 phương trình có $mx^{3},3mxy^{2}$ hoặc $my^{3},3myx^{2}$ ta có thể đưa về dạng đặt tổng-hiệu với
$\left\{\begin{matrix} x= a+b & & \\ y = a-b & & \end{matrix}\right .$
Mục đích khử $ab,ab^{2},a^{2}b$ sau khi đưa về hệ bậc 3 theo $a,b$.
Ví dụ:

$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}+6x^{2}y+35= 0 & & \\ 5x^{2}+5y^{2}+2xy+5x+13y = 0 & & \end{matrix}\right .$


Điểm bài: 10
S=48−37+3×10+5+0=46

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 22:05
Ghi điểm


#20
19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
dễ thấy $x=0$ không thỏa mãn $(1)$
nên từ pt $(1)\Rightarrow y^{2}=\frac{5-x^{3}}{3x}$ thay vào pt $(2)$ ta được
$x^{2}+\frac{5-x^{3}}{3x}-10xy-13x+5y+3=0$
$\Rightarrow (2x^{3}-x^{2})-(38x^{2}-19x)-(10x-5)-(30x^{2}y-15xy)=0$
hay $(2x-1)(x^{2}-19x-5-15xy)=0$ $\Rightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{2} & & \\ x^{2}-19x-5-15xy=0 & & \end{bmatrix}$
*Thay $x=\frac{1}{2}$ vào $(1)$ ta được $\frac{1}{8}+3.\frac{1}{2}y^{2}=5$$\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}$
*$x^{2}-19x-5-15xy=0$$\Rightarrow x-19-\frac{5}{x}-15y=0$
mà từ $(1)$ ta có $x(x^{2}+3y^{2})=5$$\Rightarrow \frac{5}{x}=x^{2}+3y^{2}$
$x-19-x^{2}-3y^{2}-15y=0$
$\Rightarrow x^{2}-x+19+3y^2+15y=0$
hay $(x-\frac{1}{2})^{2}+3(y+\frac{5}{2})^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2} & & \\ y=-\frac{5}{2} & & \end{matrix}\right.$
cặp nghiệm trên không thỏa mãn pt $(1)$
Vậy tập nghiệm của hệ là $(x;y)=(\frac{1}{2};\pm \frac{\sqrt{13}}{2})$

Điểm bài: 10
S=48−38+3×10+0+0=40

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 30-08-2012 - 22:04
Ghi điểm





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh