Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.
ĐỀ SỐ 4
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI
Năm học 2001-2002
Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.
Mình xin giải nốt câu cuối cùng của đề trước khi post đề mới.
Đây là bài toán dựng hình, vì vậy phải có đủ
4 phần: Phân tích, Cách dựng, Chứng minh và Biện luận.
Nhưng mình sẽ chỉ làm phần Phân tích và Cách dựng thôi, mong mn thông cảm.
Phân tích:Giả sử $\Delta ABC$ đã dựng được thỏa mãn yêu cầu đề bài:
$AM=m,BN=n$ (trong đó $AM,BN$ là các trung tuyến của $\Delta ABC$) và $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta thấy, nếu hạ $BH$ vuông góc xuống $AM$, thì $S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABM}=2.\frac{1}{2}.AM.BH=AM.BH\leq AM.BG=m.\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}.m.n=const$
Vậy $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $BH\perp AM\Leftrightarrow BN\perp AM$ tại $G$.
Cách dựng:- Dựng đoạn thẳng $AM$ có độ dài $m$.
- Dựng điểm $G$ trên đoạn $AM$ sao cho $AG=\frac{2}{3}m$.
- Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $AM$ tại $G$.
- Dựng các điểm $B,N$ trên $d$ về 2 phía so với $AM$, sao cho $BG=\frac{2}{3}n,GN=\frac{1}{3}n$.
- Dựng điểm $C$ là giao điểm của $AN$ và $BM$.
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cần dựng.