Chủ đề này có 5 trả lời

[perfectstrong]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:
- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...

Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.

BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về Số học. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

[cool hunter]

Đề:
Cho p là số nguyên tố, p>3 và $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. CMR: $2^{n+1}-4\vdots n$.
Đáp án:
Vì p là số nguyên tố và $p>3$ suy ra $2^{p-1}\equiv 1(mod3)$
Mặt khác $(2,p)=1$ nên theo định lí Fermat ta có: $2^{p-1}\equiv 1(modp)$.
do đó: $2^{p-1}-1\vdots 3p$.
Ta có:
$n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4^{p}-4}{3}=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$.
suy ra $n-1\vdots 2p$ $\Rightarrow 2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$.
Vì $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$ $\Rightarrow 2^{2p}-1\vdots n\Rightarrow 2^{n-1}-1\vdots n\Rightarrow 2^{n+1}-4\vdots n$ (đpcm)

[Joker9999]

Chứng minh rằng: 3^100-1 chia hết cho 242.
Ta có 3^100-1 chia hết cho 3^5-1 => đpcm

[luuxuan9x]

Đề của toán thủ luuxuan9x:

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$, trong đó n là số nguyên dương.

Bài giải:

Ta có $3^{2^{n}}=(3^{2^{n}}-1)+1=(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^{n-1}}+1)+1$

Ta thấy $3\equiv -1(mod 4)$ nên $3^{2^{k}}\equiv (-1)^{2^{k}}=1(mod 4)$ $\forall k\geq 1,k\in \mathbb{N}$.

Do đó $3^{2^{k}}+1\equiv 2(mod 4)$, $\forall k\geq 1,k\in \mathbb{N}$.

Vì vậy ,các số $3^2+1,3^{2^{2}}+1,...,3^{2^{n-1}}$ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4.

Hay $3^{2^{k}}+1=2p_k,\forall k\geq 1,k\in \mathbb{N}$ trong đó $p_k$ là số lẻ.

Suy ra $(3^2+1)(3^{2^2}+1)...(3^{2^{n-1}}+1)=2^{n-1}(2m+1)$, với m là một số nguyên nào đó .

Do đó $3^{2^{n}}=2.4.2^{n-1}(2m+1)+1=m.2^{n+3}+2^{n+2}+1$

Vì $2^{n+2}+1< 2^{n+2}+2^{n+2}=2^{n+3}$ nên phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$ là $2^{n+2}+1$

[huy thắng]

Giả sử $a_{1}$ ;$a_{2}$ ;.....; $a_{k}$ là k số nguyên dương đôi một nguyên tố cùng nhau.
Kí hiệu $b_{i} = \frac{a_{1}a_{2}...a_{k}}{a_{i}}$ . Tìm số nguyên dương c lớn nhất để phương trình
$b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + ... +b_{k}x_{k} = c$
không có nghiệm nguyên dương

[Joker9999]

1 bài BDT số học:
Đề bài:
Cho $m,n$ là $2$ số nguyên dương thoả $m>n$. CMR: $[m,n]+[m+1,n+1]>\frac{2mn}{\sqrt{m-n}}$ trong đó $[a,b]$ là kí hiệu bội chung nhỏ nhất của $a,b$
Lời giải:

Giải như sau:
Kí hiệu $(m,n)=gcd(m,n)$ và $(m,n)=(m-n,n)$ và $(m+1,n+1)=(m-n,n+1)$ thuật toán Euclude
$VT=\dfrac{mn}{(m,n)}+\dfrac{(m+1)(n+1)}{(m+1,n+1)}>mn\left(\dfrac{1}{(m,n)}+\dfrac{1}{(m+1,n+1)}\right)=mn\left(\dfrac{1}{(m-n,n)}+\dfrac{1}{(m-n,n+1)}\right)\geq \dfrac{2mn}{\sqrt{(m-n,n)(m-n,n+1)}}>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$ (vì $gcd(n,n+1)=1$)
Như vậy ta cần cm $(m-n,n)(m-n,n+1)<m-n$
Đặt $m-n=dx,n=dy$ và $m-n=ea,n+1=eb$ với $gcd(x,y)=gcd(a,b)=1$
Như vậy $(m-n,n)(m-n,n+1)=de$ do đó cần cm $de<dx \Rightarrow e<x$
Mặt khác $n=dx,n+1=eb,gcd(n+1,n)=1 \Rightarrow$ $d,y,e,b$ nguyên tố cùng nhau đôi một $(1)$
Tuy nhiên $dx=ea$ mặt khác $gcd(d,e)=1$ (theo $(1)$) mà $dx \vdots e$ nên $x \vdots e \Rightarrow x\geq e$
Suy ra $đpcm$