Xem mục lục các chuyên đề và bài giảng.
.A- Lý thuyết:
Trước hết các em cần hiểu cực đại, cực tiểu của hàm số khác với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đó. Lấy một ví dụ như sau: Trong lớp học, một em học sinh cao hơn tất cả các em còn lại thì gọi là “giá trị lớn nhất” về chiều cao trong lớp, nhưng một em học sinh chỉ cần cao hơn ít nhất hai em ngồi cạnh thì được gọi là một “cực đại” về chiều cao của lớp đó.
Xem thêm tại đây
Định nghĩa: Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $D\subseteq \mathbb{R}$
- Điểm ${{x}_{o}}\in D$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$ nếu tồn tại một khoảng $\left( a;b \right)\subset D$ sao cho ${{x}_{o}}\in \left( a;b \right)$ và $f\left( {{x}_{o}} \right)>f\left( x \right),\forall x\in \left( a,b \right)\backslash \left\{ {{x}_{o}} \right\}$
- Điểm ${{x}_{1}}\in D$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$ nếu tồn tại một khoảng $\left( a;b \right)\subset D$ sao cho ${{x}_{1}}\in \left( a;b \right)$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( x \right),\forall x\in \left( a,b \right)\backslash \left\{ {{x}_{o}} \right\}$
Cách xác định điểm cực trị của hàm số:
Để xác định được các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số các em cần nắm chắc ba định lí sau:
- Định lý 1: (Điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Nếu hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{o}}$ và hàm số có đạo hàm tại ${{x}_{o}}$, thì $f'\left( {{x}_{o}} \right)=0$
(Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn với hàm $y=\left| x \right|$, đại cực trị tại ${{x}_{o}}=0$ nhưng không có đạo hàm tại đó)
- Định lí 2: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
- Nếu $f'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a,{{x}_{o}} \right)$ và $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( {{x}_{o}};b \right)$ thì $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{o}}$
(Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua ${{x}_{o}}$)
$$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & a & \; & \; & x & \; & \; & \; \;\;\;\;b\\
\hline
y' & \; & - & & ? & & + &\; \\
\hline
\\
y &&\; & \searrow && \nearrow &\; \\
\quad & &&&y_{CT}
\end{array}$$
Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $M\left( {{x}_{o}},{{y}_{CT}} \right)$
- Nếu $f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( a,{{x}_{o}} \right)$ và $f'\left( x \right)<0,\forall x\in \left( {{x}_{o}};b \right)$ thì $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{o}}$
(Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua ${{x}_{o}}$)
$$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & a & \; & \; & x & \; & \; & \; \;\;\;\;b\\
\hline
y' && +& & ? & &- &\; \\
\hline
\; & \; & &&y_{CD} \\
y \;&\;&\; \nearrow &&& & \searrow \\
\end{array}$$
Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại là $M\left( {{x}_{o}};{{y}_{CD}} \right)$
Chú ý: Không cần xét hàm số $f\left( x \right)$ có hay không đạo hàm tại ${{x}_{o}}$
Ví dụ: Hàm số : $$y=|x|=\left\{\begin{matrix}
-x&\text{Nếu } x\in (-\infty ;0)\\
x&\text{Nếu } x\in (0;+\infty )
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
y'=\left\{\begin{matrix}
-1<0&\text{Nếu } x\in (-\infty ;0)\\
1>0&\text{Nếu } x\in [0;+\infty )
\end{matrix}\right.$$
Nên hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{o}}=0$.
- Định lí 3:
- Nếu $f'\left( {{x}_{o}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{o}} \right)>0$ thì $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${{x}_{o}}$
- Nếu $f'\left( {{x}_{o}} \right)=0$ và $f''\left( {{x}_{o}} \right)<0$ thì $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${{x}_{o}}$
Từ đó các em có cách xác định cực trị như sau:
Bước 1: Tính đạo hàm $y’$, tìm những điểm mà tại đó $y’=0$ hoặc $y’$ không xác định
Bước 2:
Cách 1: Xét dấu y’ dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu (Thường dùng cách này)
Cách 2: Xét dấu $y''\left( {{x}_{o}} \right)$ (${{x}_{o}}$ là nghiệm của y’) dựa vào định lí 3 để kết luận
Chú ý: Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất
$$y=\frac{ax+b}{cx+d}\Rightarrow y'=\frac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$$
Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào x, hay độc lập với x nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:21