Đến nội dung

Hình ảnh

Topic nhận đề Đa thức, phương trình hàm


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:

- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...


Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
-
Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.



BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về Đa thức-Phương trình hàm. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#2
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Toán thủ namheo1996 xin ra đề Đa thức ,phương trình hàm.

Đề:

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:

$f[xf(x)+f(y)]=f^{2}(x)+y$ (1) với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.

Đáp án:

Thay $x=0$ :

(1)=>$f[0+f(y)]=y+f^2(0) ,\forall y\in \mathbb{R}$ (2)

Thay $y=-f^2(0)$ khi đó (2) =>$f[f(-f^2(0))]=0$

Đặt a=$f[-f^2(0)]$,ta có $f(a)=0$

Cho x=a,(1)=>$f[f(y)]=y$ ,$\forall y\in \mathbb{R}$

Thay $x=f[f(x)]$

(1)=>$f[f(x).f(f(x))+f(y)]=f^2(f(x))+y$ $\forall x,y\in \mathbb{R}$

Mà $f[f(x)]=x$ nên ta có $f[xf(x)+f(y)]=x^{2}+y$ ,$\forall x,y\in \mathbb{R}$ (3)

Từ (1) và (3) cho ta $f^2(x)=x^{2}$ ,$\forall x\in \mathbb{R}$.

Suy ra $f(x)=\pm x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Thử nghiệm lại ta nhận cả hai nghiệm.

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=\pm x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3
mekjpdoj

mekjpdoj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
tìm f : Z$\rightarrow$Z thỏa mãn đồng thời
a) f(f(x) = x $\forall x\epsilon Z$ (1)
b) f(f(f(f(f(f(f(f(f(x))))))))) = -x +1 $\forall x\epsilon Z$(2)


Giải
từ (1) ta thấy vế phải là bậc nhất nên biểu thức dưới f có dạng f(x) = ax + b
=> (1) <=> a2x + ab +b = x
dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta có
a=1;b=0 hoặc a= -1; b =1
với a=1;b=0 => f(x) = x loại vì không thỏa (2)
tương tự với a= -1; b =1 =>f(x) = -x +1 thỏa (2)
vậy hàm số cần tìm là f(x) = -x +1

#4
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Toán thủ namheo1996 xin ra đề.

ĐỀ:

Cho $a\in \mathbb{R}$ .Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ thoả mãn:

$(x^2-5x+a)P[x]=(x^2+x+1)P(x-1)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Bài làm:

Xét các đa thức $T_k(x)$ xác định như sau:$T_0(x)=x^2+x+1,T_k(x-1),(k=1,2,....)$

Bằng quy nạp, ta chứng minh được $T_k(x),k\in \mathbb{N}$

Không có nghiệm thực, nên chúng là những đa thức bất khả quy trên $\mathbb{R}[x]$

Từ đó, Nếu $a = 7$ thì đa thức $x^2-5x+7=T_3(x)$ và nếu $a\neq 7$ thì đa thức $x^2-5a+a$ nguyên tố với các đa thức $T_k(x),\forall k\in \mathbb{N}$.

*)Trường hợp 1: $a = 7$:

Từ đề bài: $T_3(x)P(x)=T_0(x)P(x-1)$ (1)

$=>P(x)\vdots T_0(x)=>P(x)=T_0(x)P_1(x)$

Thay vào (1): $T_3(x).P(x)=T_0(x).T_1(x).P_2(x)$.

=>$=>P(x)\vdots T_0(x).T_1(x)$ =>$P(x)=T_0)(x).T_1(x).P_3(x)$

Thay vào (1): $T_3(x).P(x)=T_0(x).T_1(x).T_2(x).P_3(x+1)$.

=>$P(x)\vdots T_0(x).T_1(x).T_2(x)=>P(x)=T_0(x).T_1(x)T_2(x).Q(x)$

Thay vào (1): $T_3(x).T_0(x).T_1(x).T_2(x).Q(x)=T_0(x).T_1(x).T_2(x).T_3(x).Q(x-1)=>Q(x)=Q(x+1)$

=>$Q(x)=c =>P(x)=C(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2-3x+3)$


Thử lại ta thấy đa thức trên thoả bài toán.

*)Trường hợp $a\neq 7$ làm tương tự ta thu được nghiệm :$P(x)\equiv 0$



Kết luận :$a = 7$ thì $P(x)=C(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^2-3x+3)$

$a\neq 7$ thì $P(x)\equiv 0$

#5
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Đề bài:Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả
$$P(x^2)+Q(x)=P(x)+x^5Q(x),\forall x\in\mathbb{R}.$$
Lời giải:

Theo đề ta có: $ P(x^2)-P(x)=(x^5-1)Q(x)$
$P(x^2)-P(x)$ chắc chắn là có nhân tử $x-1$ rồi nên ta cần tìm đk của $P(x)$ để $P(x^2)-P(x)$ chia hết cho $x^4+x^3+x^2+x+1$. Đặt $ a = cos\frac{2\pi}{5}+ isin\frac{2\pi}{5}$ thì $a,a^2,a^3,a^4$ lần lượt là nghiệm của pt $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ và do đó ta sẽ chứng minh được rằng: $P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)=r$ với $r \in R$. Như vậy suy ra $P(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)R(x)+r$ với $R(x)$ là một đa thức bất kì trong tập thực.Khi đấy thì $Q(x)$ được xác định bởi $ Q(x)=\frac{P(x^2)-P(x)}{x^5-1)}$

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#6
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Mấy hôm nay bận quá không có thời gian lên mạng nên không biết trận tiếp theo của MO tiếp diễn, giờ này mình ra đề không biết có được chấp thuận không? :icon6: .

Đề bài (BTC kiểm tra xem có trùng với đề nào trên cấp quốc gia không, mình không chắc nữa).

Cho hai hàm số biến số thực $f$ và $g$ xác định trên $\mathbb{R}$ thoả :

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y), \forall x,y\in \mathbb{R}$ (*)

Chứng minh rằng nếu $f$ không đồng nhất bằng không và $\left | f(x) \right |\leq 1 ,\forall x\in \mathbb{R}$ thì $\left | g(x) \right |\leq 1, \forall x\in \mathbb{R}$.

Bài giải:

Theo giả thiết , tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)\neq 0$.

Với mỗi số thực y, ta định nghĩa dãy $(x_k)$ $(k=0,1,2,......)$ như sau:

$x_{k+1}=x_k+y$ khi $\left | f(x_k+y) \right |\geq \left | f(x_k-y) \right |$

$x_{k+1}=x_k-y$ khi $$\left | f(x_k+y) \right |< \left | f(x_k-y) \right |$$

Khi đó kết hợp với (*) , ta có :$\left | f(x_{k+1}) \right |\geq \left | g(y) \right |\left | f(x_k) \right |$.

Quy nạp theo $k$ ta được :$\left | f(x_{k}) \right |\geq \left | g(y) \right |^{k}.\left | f(x_0) \right |, \forall k\in \mathbb{N}^*$

Vì $\left | f(x_k) \right |\leq 1,\forall k\in \mathbb{N}^*$ nên $\left | g(y) \right |\leq 1$.

Bài toán đã được chứng minh.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7
mat troi be nho

mat troi be nho

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 26 Bài viết
những người ko thi có dk ra đề ko ạ

#8
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Tìm các hàm $f$ $R$ đến $R$ thoả:

$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(xy+1)$, $x,y$ thuộc $R$


<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh