Chủ đề này có 25 trả lời

[Crystal]

CHUYÊN ĐỀ:

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 1:

LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT TIẾP ĐIỂM.

I.LÝ THUYẾT:

DẠNG TOÁN 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.
Nếu tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thì phương trình tiếp tuyến là $d:y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.


A.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + ax - 1}}{{x - 1}}$ tại giao điểm của nó với trục tung.

Định hướng giải: Với dạng bài tập này,trước tiên ta cần phải tìm ra tọa độ tiếp điểm mà bài toán yêu cầu.


Lời giải: Tập xác định: $x \ne 1$

Đạo hàm: $y' = \frac{{{x^2} - 2x - a + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$


Tọa độ giao điểm $M$ của đồ thị hàm số với trục tung $Oy$ là nghiệm của hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = \frac{{{x^2} + ax - 1}}{{x - 1}}}\\
{x = 0}\\
{x \ne 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow M\left( {0;1} \right)\]

Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M(0;1)$ có dạng: $y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + 1$

Ta có $y'\left( 0 \right) = 1 - a$.

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = \left( {1 - a} \right)x + 1.$

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{5}{2}$. Gọi $(d)$ là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ có hoành độ ${x_M} = a$.Chứng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình: ${\left( {x - a} \right)^2}\left( {{x^2} + 2ax + 3{a^2} - 6} \right) = 0.$

Định hướng giải: Ta có thể thấy ví dụ này đã cho sẵn tọa độ của tiếp điểm,như vậy để chứng minh yêu cầu bài toán ta chỉ việc viết ra phương trình tiếp tuyến và lập phương trình hoành độ giao điểm.

Lời giải: Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
Đạo hàm: $y' = 2x^3 - 6x$
Phương trình tiếp tuyến của đồ thi tại M có hoành độ là ${x_M} = a$ có dạng :
$$y = {y'}\left( a \right)\left( {x - a} \right) + y\left( a \right) = \left( {2{a^3} - 6a} \right)x - \frac{{3{a^4}}}{2} + 3{a^2} + \frac{5}{2}$$
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị là nghiệm của phương trình:
$$\frac{1}{2}{x^4} - 3{x^2} + \frac{5}{2} = \left( {2{a^3} - 6a} \right)x - \frac{{3{a^4}}}{2} + 3{a^2} + \frac{5}{2}$$
$$ \Leftrightarrow {x^4} - 6{x^2} - \left( {2{a^3} - 6a} \right)x + 3{a^4} - 6{a^2} = 0$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2}\left( {{x^2} + 2ax + 3{a^2} - 6} \right) = 0$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hàm số $y = \frac{{4 + mx - 3{x^2}}}{{4x + m}}.$ Với giá trị nào của $m$ thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ $x=0$ vuông góc với tiệm cận? (ĐS: $m = \pm 4$ )
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 (ĐS: $y = 3x - 1$ hay $y = 3x + 11$ )
Bài 3: Gọi $\left( C \right)$ là đồ thị của hàm số $y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2$. Tìm $m$ để $\left( C \right)$ có tiếp tuyến tạo với $\left( d \right):x + y + 7 = 0$ một góc $\alpha $ sao cho $\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }}.$ . ĐS:$\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{1}{{12}}\\
m \le \frac{{ - 11}}{2}
\end{array} \right.,\left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{{ - 2 + \sqrt {19} }}{2}\\
m \le \frac{{ - 2 - \sqrt {19} }}{2}
\end{array} \right.$
Bài 4: (ĐHQG-khối A 2000) Cho hàm số $y = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\left( C \right)$

Tìm nhữ ng điểm trên $\left( C \right)$ có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với 2 đường tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.
ĐS:$M\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}};2 + \sqrt[4]{2} + \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}} \right)$

Bài 5: Cho $\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}$

Gọi $\left( \Delta \right)$ là tiếp tuyến tại điểm M(0;1) với $\left( C \right)$. Hãy tìm trên $\left( C \right)$ những điểm có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ những điểm đó đến $\left( \Delta \right)$ là nhỏ nhất.
ĐS: $M(2;-5)$.
Bài 6: (ĐHKTQD-khối A 2000) Hãy tìm phương trình tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^3} + 1}}{x}$ biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{2}$.

ĐS:${d_1}:y = x + 1;{d_2}:y = \frac{9}{{\sqrt[3]{{25}}}}x - \frac{3}{{\sqrt[3]{5}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:38

[Crystal]

CHỦ ĐỀ 2:

LẬP TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KHI BIẾT MỘT ĐIỂM THUỘC TIẾP TUYẾN.

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Trong chủ đề này,ta thường hay sử dụng đến kiến thức 2 đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:

Điều kiện để 2đồ thị hàm số $f\left( x \right);g(x)$ tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( x \right) = g(x)}\\
{f'\left( x \right) = g'(x)}
\end{array}} \right.$$

DẠNG TOÁN 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ đi qua $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$
Ta có thể lựa chọn một trong 2 cách sau:

Cách 1: Ta đi tìm tọa độ của tiếp điểm bằng cách dựa vào phương trình tiếp tuyến:
$\left( d \right):y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$, trong đó ${x_0};{y_0}$ là tọa độ tiếp điểm.

Do $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow {y_A} = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {{x_A} - {x_0}} \right) + {y_0}(1)$

Từ (1) ta sẽ tìm được ${x_0}$. Từ đó ta suy ra được phương trình tiếp tuyến.

Cách 2: Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ có dạng:
$$y = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}$$
Công việc của ta chỉ là tìm $k$ thông qua điều kiện để $\left( d \right)$ tiếp xúc với đồ thị.

A.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đò thị, từ điểm $A\left( {\frac{{23}}{9}; - 2} \right)$

Định hướng giải: Ta có thể giải ví dụ này theo 2 cách đã trình bày ở trên.Các bạn học viên tốt nhất nên lựa chọn cho mình một cách giải mà mình thấy dễ hiểu và nhanh gọn nhất.Tuy nhiên,đối với các hàm số phân thức phức tạp thì việc sử dụng cách 2 lại có vẻ hiệu quả hơn.

Lời giải:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Đạo hàm: ${y'} = 3{x^2} - 6x$

Cách 1: GiẢ sử hoành độ tiếp điểm là $x = {x_0}$, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
$$\left( d \right):y = {y'}\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + y\left( {{x_0}} \right) \Leftrightarrow \left( d \right):\left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2$$
$$A\left( {\frac{{23}}{9}; - 2} \right) \in \left( d \right) \Leftrightarrow - 2 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {\frac{{23}}{9} - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 2$$

$$ \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)\left( { - 2x_0^2 + \frac{{20}}{3}{x_0} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = 3\\
{x_0} = \frac{1}{3}
\end{array} \right.$$
* ${x_0} = 2$:Thay vào phương trình tiếp tuyến,ta có: $\left( {{d_1}} \right):y = - 2$

* ${x_0} = 3$:Thay vào phương trình tiếp tuyến,ta có: $\left( {{d_2}} \right):y = 9x - 25$

* ${x_0} = \frac{1}{3}:\left( {{d_3}} \right):y = \frac{{ - 5}}{3}x + \frac{{61}}{{27}}$

Cách 2: Phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ qua $A\left( {\frac{{23}}{9}; - 2} \right)$ với hệ số góc k,có dạng:
$$y = k\left( {x - \frac{{23}}{9}} \right) - 2$$
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^3} - 3{x^2} + 2 = k\left( {x - \frac{{23}}{9}} \right) - 2}\\
{3{x^2} - 6x = k}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^3} - 3{x^2} + 2 = \left( {3{x^2} - 6x} \right)\left( {x - \frac{{23}}{9}} \right) - 2}\\
{3{x^2} - 6x = k}
\end{array}} \right.$$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 3\\
x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
k = 3{x^2} - 6x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 0\\
k = 9\\
k = - \frac{5}{3}
\end{array} \right.$$

Với mỗi $k$, ta thay vào $(d)$ thì sẽ thu được 1 tiếp tuyến.


Lưu ý: Với các bài toán đa thức đơn giản như trên thì ta có thể giải bằng cả 2 cách,thế nhưng đối với các bài toán hàm số dạng phân thức thì việc sử dụng cách 2 lại đạt hiệu quả cao hơn hẳn.Bởi khi sử dụng điều kiện tiếp xúc thì đạo hàm của hàm phân thức luôn có bình phương ở mẫu,làm cho phương trình hệ số góc $k = {f'}(x)$ khi thay vào phương trình tiếp tuyến đầu sẽ làm cho phương trình luôn có nhân tử chung làm cho vấn đề giải các phương trình ấy trở nên dễ dàng hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:40

[Crystal]

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2\left| x \right| + 2}}{{\left| x \right| - 1}}$. Viết phương trình các tiếp kẻ đến đồ thị từ điểm $A(3;0)$.

Định hướng giải: Đối với các dạng hàm có chứa trị tuyệt đối thì ta không thể đạo hàm trực tiếp được(các hàm dạng này không liên tục) cho nên ta phải xét trường hợp để “phá” trị tuyệt đối.

Lời giải:
Tập xác định: $x \ne \pm 1$.

Đạo hàm: 

 

$\left\{ 

\begin{array}{c}

x \ge 0\\

x \ne 1

\end{array} \right.

 

\Rightarrow y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} 

\Rightarrow y' = \frac{x^2 - 2x}{\left( x - 1 \right)^2}$ 

 

 

$\left\{ {\begin{array}
{{20}{c}}
{x < 0}\\
{x \ne - 1}
\end{array}} \right.\Rightarrow y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{ - x - 1}} \Rightarrow {y'} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

Phương trình tiếp tuyến đi qua $A(3;0)$ có dạng: $\left( d \right):y = k(x - 3)$.

$(d)$ tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\frac{{{x^2} - 2\left| x \right| + 2}}{{\left| x \right| - 1}} = k(x - 3)}\\
{{{\left( {\frac{{{x^2} - 2\left| x \right| + 2}}{{\left| x \right| - 1}}} \right)}^\prime } = k}
\end{array}} \right.$

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0;x \ne 1\\
\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = k\left( {x - 3} \right)\\
\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 0;x \ne - 1\\
\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{ - x - 1}} = k\left( {x - 3} \right)\\
\frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\\
k = \frac{{1 - \sqrt {87} }}{8}\\
k = \frac{{1 + \sqrt {87} }}{8}
\end{array} \right.\]
Với mỗi $k$ ta sẽ tìm 1 tiếp tuyến tương ứng.

Bài tập đề nghị:
Bài 1: (ĐHKT-1999) Cho hàm số $y = \frac{1}{2}{x^4} - \frac{1}{2}{x^2}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ gốc tọa độ đến đồ thị hàm số.

ĐS: $\left( {{d_1}} \right):y = 0;\left( {{d_2}} \right):y = \frac{{ - 1}}{{3\sqrt 3 }}x;\left( {{d_3}} \right):y = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}x$.

Bài 2: (ĐHNN-1998) Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2\left( C \right)$. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua $A(1;0)$ của đồ thị.

Bài 3: (ĐHXD-2001) Cho hàm số $y = x\ln x\left( C \right)$. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(2;1)$.

ĐS:Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:52

[Crystal]

DẠNG TOÁN 2: Cho hàm số $y = f(x)\left( C \right)$. Tìm điểm $A$ thỏa mãn tính chất $K$ để từ đó kẻ được $k$ tiếp tuyến tới đồ thị $\left( C \right)$.

Ta sẽ giải quyết dạng toán này theo 5 bước:

Bước 1: Tìm điểm $A$ thỏa mãn tính chất $K$, giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

Bước 2: Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ với hệ số góc $k$ có dạng:
$$\left( d \right):y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$
Bước 3: Đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm:

$$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}(1)\\
f'\left( x \right) = k(2)
\end{array} \right.$$
Bước 4: Thay $(2)$ vào $(1)$, được: $f\left( x \right) = {f'}\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}(3)$

Bước 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ được từ $A$ tới đồ thị $\left( C \right)$. Do đó để từ $A$ kẻ được $k$ tiếp tuyến đến đồ thị $\left( C \right) \Leftrightarrow $ phương trình (3) có $k$ nghiệm phân biệt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:53

[Crystal]

B.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Ví dụ 1:
Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}$. Xác định $m$ sao cho qua điểm $A(0;1)$ không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số.

Định hướng giải: Đây là dạng bài biện luận tham số nên khi ta biến đổi ta sẽ thu được phương trình $(3)$ sẽ chứa tham số $m$. Khi đó ta theo bước 5 mà thức hiên biện luận tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:
Phương trình đường thẳng đi qua $A(0;1)$ có dạng: $\left( d \right):y = kx + 1$.

Đường thẳng $(d)$ không tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau vô nghiệm:

$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = kx + 1\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
\frac{{2{x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.$$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được: $g\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\,(3)$

Để qua $A$ không có đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số tương đương phương trình $(3)$ vô nghiệm.

Với $m=3$:

Ta có $\left( 3 \right) \Leftrightarrow 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện vô nghiệm)

Với $m \ne 3:$

Có $(3)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow {\Delta '_g} < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Vậy giá trị $m<1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hàm số $y = x + \sqrt {4{x^2} + 2x + 1} $. Xác định tất cả các điểm trên $Oy$ sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị.

ĐS:Các điểm $A(0;b)$ thỏa mãn: $ - 1 \le b \le 1$

Bài 2: (ĐHNT-khối D 2000) Cho hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\left( C \right)$. Từ điểm bất kỳ trên đường thẳng $x=2$ ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.

ĐS: Kẻ được duy nhất 1 tiếp tuyến.

Bài 3: (HVNH/TPHCM-1999) Cho hàm số $y = {x^3} - 3x\,\,\,\left( C \right)$. Tìm những điểm trên đường thẳng $y=2$ từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị.

ĐS: Các điểm $A(a;2)$ thỏa mãn $\left[ \begin{array}{l}
a > 2\\
- 1 \ne a < \frac{{ - 2}}{3}
\end{array} \right.$

[Crystal]

CHỦ ĐỀ 3:

GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ.

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
NhỮng vấn đề về góc giữa 2 tiếp tuyến chủ yếu phụ thuộc vào công thức sau:

Gọi ${k_1};{k_2}$ theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến $\left( {{d_1}} \right);\left( {{d_2}} \right)$.


Khi đó nếu ta đặt $\alpha = \widehat {\left( {\left( {{d_1}} \right);\left( {{d_2}} \right)} \right)}$ thì $\tan \alpha = \left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|$.

Do đó $\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow {k_1}{k_2} = - 1$.

II.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + mx + 1\,\,\,\left( {{C_m}} \right)$. Xác định $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại 3 điểm phân biệt $C(0;1);D;E$. Tìm $m$ để tiếp tuyến tại $D$ và $E$ vuông góc nhau.

Đinh hướng giải: Trước tiên ta phải giải quyết từng bước một yêu cầu bài toán.Đầu tiên ta phải tìm điều kiện để $\left( {{C_m}} \right)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại 3 điểm phân biệt,rồi sau đó ta tìm hệ số góc của 2 tiếp tuyến tại $D$ và $E$ và cho tích của chúng bằng $-1$.

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=1$ với $\left( C \right)$ là:

$${x^3} + 3{x^2} + mx + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{{x^2} + 3x + m = 0\,\,\,(1)}
\end{array}} \right.$$
Đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ cắt đường thẳng $y=1$ tại 3 điểm phân biệt $C(0;1),D,E$ khi $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$

$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta {'_{(1)}} > 0\\
{0^2} + 3.0 + m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 4m > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \ne m < \frac{9}{4}\,\,\,\,(*)$$
Khi đó,theo định lý Viete $(*)$ có nghiệm thỏa mãn:

$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_D} + {x_E} = - 3}\\
{{x_D}{x_E} = m}
\end{array}} \right.$$
Tiếp tuyến tại $D$ có hệ số góc: ${k_D} = {y'}\left( {{x_D}} \right) = 3x_D^2 + 6{x_D} + m$.

$$ = 3\left( {x_D^2 + 3{x_D} + m} \right) - 3{x_D} - 2m = - 3{x_D} - 2m.$$
Tương tự ta có tiếp tuyến tại $E$ có hệ số góc: ${k_E} = - 3{x_E} - 2m.$

Các tiếp tuyến tại $D$ và $E$ vuông góc nhau khi ${k_D}.{k_E} = - 1$
$$ \Leftrightarrow \left( {3{x_D} + 2m} \right)\left( {3{x_E} + 2m} \right) = - 1 \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{9 \pm \sqrt {65} }}{8}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 01:53

[Crystal]

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = x - 1 + \frac{{m - 1}}{{x + 1}}$. Tìm điều kiện cần và đủ đối với m để trên mặt phẳng tọa độ tồn tại ít nhất 1 điểm sao cho từ đó ta có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau.

Lời giải: Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có:

Đường thẳng $(d)$ qua $A$ với hệ số góc $k$,có dạng: $y = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}$

Đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

$$\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 + \frac{{m - 1}}{{x + 1}} = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}\\
1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {{x_A} + 1} \right)k + 2 + {y_A}}}{m}\\
1 - {\left[ {\frac{{ - \left( {{x_A} + 1} \right)k + 2 + {y_A}}}{m}} \right]^2} = k\,\,\,\,\,(1)
\end{array} \right.$$
$$\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( k \right) = a{k^2} + 2bk + c = 0$$
Trong đó
$$a = {\left( {{x_A} + 1} \right)^2};b = 2m - {x_A}{y_A} - 2{x_A} - {y_A} - 4;c = {\left( {{y_A} + 2} \right)^2} - 4m + 4$$
Từ $A$ có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau tới $©$: khi phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt ${k_1};{k_2}$ khác $\frac{{{y_A} + 2}}{{{x_A} + 1}}$ thỏa mãn ${k_1}{k_2} = - 1$.


\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + 1 \ne 0\\
\frac{{{{\left( {{y_A} + 2} \right)}^2} - 4m + 4}}{{{{\left( {{x_A} + 1} \right)}^2}}} = - 1\\
f\left( {\frac{{{y_A} + 2}}{{{x_A} + 1}}} \right) \ne 0
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_A} + 1} \right)^2} + {\left( {{y_A} + 2} \right)^2} = 4m - 4\]
$$ \Rightarrow 4m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 1$$.
Vậy giá trị $m>1$ thỏa mãn yêu cầu đề.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 5$.
a) Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại 2 điểm sao cho 2 tiếp tuyến tại 2 điểm đó của đồ thị vuông góc nhau.
b) Xác định k để trên đồ thị có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng $y=kx$.

Định hướng giải: Việc chứng minh 2 tiếp tuyến hay 2 đường thẳng nói chung vuông góc nhau nhắc cho ta nhớ đến kiến thức:”2 đường thẳng vuông góc nhau khi và chỉ khi tích 2 hệ số góc bằng -1”,còn vấn đề “làm sao để xác định được hệ số góc” buộc ta phải hiểu được định nghĩa của nó.

Lời giải:
a) Tập xác định: $D= \mathbb{R}$.

Đạo hàm: ${y'} = 3{x^2} + 6x + 3 = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$

Giả sử 2 điểm $A,B$ có hoành độ theo thứ tự là ${x_A};{x_B}$ thuộc đồ thị,ta có:

Hệ số góc cùa tiếp tuyến tại A và B có giá trị là: ${y'}\left( {{x_A}} \right);y'\left( {{x_B}} \right)$

Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau $ \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right).y'\left( {{x_B}} \right) = - 1$

$ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_A} + 1} \right)^2}{\left( {{x_B} + 1} \right)^2} = - 1$

Đây là điều vô lý nên ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị,ta có:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M có giá trị là $y'\left( {{x_0}} \right)$

Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng $y=kx \Leftrightarrow ky'\left( {{x_0}} \right) = - 1$
$$ \Leftrightarrow k{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = - 1(1)$$
Để tồn tại ít nhất 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu thì phương trình $(1)$ phải có nghiệm $ \Leftrightarrow k \le 0$.

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}$. Chứng tỏ rằng trên đường thẳng $y=7$ có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị $©$ của hàm số 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc $45^0$.

Bài 2: (ĐHKT-1998) Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$. Tìm những điểm trên $Oy$ sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau.

ĐS: ${A_1}\left( {0; - 3 - \sqrt {15} } \right);{A_2}\left( {0; - 3 + \sqrt {15} } \right)$.

Bài 3: (ĐHQG/TPHCM-Khối A 1998) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}$. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số.

ĐS: Tập hợp là đường tròn tâm $I(1;-2)$; bán kính $R=2$, bỏ đi 4 giao điểm với 2 đường thẳng $x=1$ và $y=x+1$ là $A\left( {1;4} \right);C\left( {1;0} \right);D\left( {1 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 } \right);E\left( {1 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 } \right)$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUY ĐỊNH VỀ THẢO LUẬN

• Tuân thủ Nội quy diễn đàn.
   
• Khi hỏi bài tập cần nêu rõ nguồn (đề thi, bài trên lớp, trong sách...) và trình bày những suy nghĩ của mình về bài toán đó (đã làm được đến đâu, đề có chỗ nào chưa hiểu, chưa xử lí được điều kiện nào).
   
• Khi giải bài (giúp các bạn khác) cố gắng đưa ra lời hướng dẫn hoặc đường hướng giải quyết bài toán hay phân tích rõ các giả thiết của bài toán và sử dụng các giả thiết ấy như thế nào... 
  
  Khuyến khích cả các bạn chưa có lời giải cuối cùng cũng tham gia thảo luận (chẳng hạn như "mình nghĩ phải làm thế này thế này, nhưng chỉ làm được đến đây thì chịu...", hay "BĐT ấy mình đánh giá được đến đây rồi bạn nào giúp mình đánh giá tiếp với...").
   
• Bên cạnh các bài tập tự luyện, khuyến khích các bạn gửi những bài toán hay (kể cả các bạn đã làm được và chưa làm được) trong quá trình ôn tập mà các bạn gặp phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:18

[Mrnhan]

em không thấy dạng này:
cho hs phân thức
từ 1 điểm trên 1 nhánh, tìm phương trình trên tiếp tuyến của nhánh còn lại qua điểm này

[minhson95]

Bài tập 1 ở chủ đề 1 Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x=0 vuông góc với tiệm cận?.
Cho em hỏi là tiệm cận ở đây là tiệm cận gì ạ.

[dark templar]

Bài tập 1 ở chủ đề 1 Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x=0 vuông góc với tiệm cận?.
Cho em hỏi là tiệm cận ở đây là tiệm cận gì ạ.

Tất cả các tiệm cận của hàm số đó đấy em

[BoFaKe]

Tất cả các tiệm cận của hàm số đó đấy em

Cho em hỏi 1 câu với,ví dụ cho (P):$y=x^{2}-3x+3$,tìm tập hợp các điểm sao cho từ điểm đó,ta có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến (P) và vuông góc với nhau tại chính điểm đó.

[dark templar]

DẠNG TOÁN 2: Cho hàm số $y = f(x)\left( C \right)$. Tìm điểm $A$ thỏa mãn tính chất $K$ để từ đó kẻ được $k$ tiếp tuyến tới đồ thị $\left( C \right)$.

Ta sẽ giải quyết dạng toán này theo 5 bước:

Bước 1: Tìm điểm $A$ thỏa mãn tính chất $K$, giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$.

Bước 2: Phương trình đường thẳng đi qua $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ với hệ số góc $k$ có dạng:
$$\left( d \right):y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$
Bước 3: Đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với đồ thị $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm:

$$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}(1)\\
f'\left( x \right) = k(2)
\end{array} \right.$$
Bước 4: Thay $(2)$ vào $(1)$, được: $f\left( x \right) = {f^'}\left( x \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}(3)$

Bước 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ được từ $A$ tới đồ thị $\left( C \right)$. Do đó để từ $A$ kẻ được $k$ tiếp tuyến đến đồ thị $\left( C \right) \Leftrightarrow $ phương trình (3) có $k$ nghiệm phân biệt.

Cho em hỏi 1 câu với,ví dụ cho (P):$y=x^{2}-3x+3$,tìm tập hợp các điểm sao cho từ điểm đó,ta có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến (P) và vuông góc với nhau tại chính điểm đó.

Em có thể xem bài post ở trên để có được hướng giải,nhớ lưu ý rằng điều kiện vuông góc nhau là $f'(x_1)f'(x_2)=-1$

[BoFaKe]

Em có thể xem bài post ở trên để có được hướng giải,nhớ lưu ý rằng điều kiện vuông góc nhau là $f'(x_1)f'(x_2)=-1$

Em chưa học đạo hàm mà anh,em mới học lớp 10 phần hàm số bậc 2,anh hướng dẫn em với.

[dark templar]

Em chưa học đạo hàm mà anh,em mới học lớp 10 phần hàm số bậc 2,anh hướng dẫn em với.

Em hỏi điều rất vô lý.
Thứ nhất:Nếu em chưa học đạo hàm thì làm sao em định nghĩa được tiếp tuyến đồ thị hàm số mà đề bài yêu cầu ??
Thứ hai:Đây là topic dành cho luyện thi ĐH.Nếu em muốn tham gia thì trước tiên em nên học thêm phần Đạo hàm đi đã .

[BoFaKe]

Em hỏi điều rất vô lý.
Thứ nhất:Nếu em chưa học đạo hàm thì làm sao em định nghĩa được tiếp tuyến đồ thị hàm số mà đề bài yêu cầu ??
Thứ hai:Đây là topic dành cho luyện thi ĐH.Nếu em muốn tham gia thì trước tiên em nên học thêm phần Đạo hàm đi đã .

Không phải mà là tại thấy topic trùng với dạng mà em định hỏi nên em hỏi luôn.Thấy cô giao thế nên em cũng chịu,không thì anh vào đây cũng được ạ.http://diendantoanho...au/#entry361772
Anh có thể cho em đáp án để so sánh được không ạ.

[quoctruong1202]

Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x-2}© A(4;2)B(\frac{9}{2};\frac{3}{2})$. Tìm m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM,AN đến © (M,N là tiếp điểm) sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN bằng $\sqrt{5}$
Rất mong có câu trả lời sớm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctruong1202: 15-10-2012 - 23:00

[quoctruong1202]

Ở bước 5 dạng toán 2 ấy vẫn có trường hợp mà có 1 giá trị k thì có 2 x vì vậy nếu nói số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình (3) không hẳn đúng

[dark templar]

Ở bước 5 dạng toán 2 ấy vẫn có trường hợp mà có 1 giá trị k thì có 2 x vì vậy nếu nói số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình (3) không hẳn đúng

Bạn có thể đưa ra ví dụ cụ thể ?

[quoctruong1202]

Cho hàm số $y=x^{4}-2x^{2}-1(c)$.
Xét số tiếp tuyến kẻ từ A(0;-2).
Gọi đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k có dạng (d):y=kx-2.Đường thẳng (d) là tiếp tuyến với (C) thì hệ sau có nghiệm $x^{4}-2x^{2}-1=kx-2 (1)
4x^{3}-4x=k (2)$
suy ra được x =$\pm 1$ suy ra k=0
Như vậy bài này có 1 tiếp tuyến nhưng có 2 x đấy

[xuanha]

đề thi đh hiện nay làm j có hàm bậc 2 trên 1 nữa. sao toàn lấy ví dụ là những hàm như vậy. nên lấy những hàm có trong thi đh để cho sát vs thi đh