Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

1 bài toán BĐT về số tự nhiên khá hay
Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

[vuliem1987]

1 bài toán BĐT về số tự nhiên khá hay
Bài toán: Cho $n \in \mathbb{N};n \ge 1$.Ký hiệu $\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$

Bài này để có lời giải chặt chẽ, đầy đủ cần sử dụng một số kết quả về giới hạn chuyển qua BĐT và ngược lại của đại học.

Cụ thể

Bổ đề 1 : Giả sử dãy $\left ( a_{n} \right )$ tăng và có giới hạn c thì $a_{n}\leq c$ với mọi n

Bổ đề 2 : Giả sử dãy ($a_{n}$) thỏa mãn $\left ( a_{n} \right )$ giảm và $\lim a_{n}=c$ thì $a_{n}\geq c$ với mọi n.

Chờ lời giải sơ cấp của mn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuliem1987: 19-02-2016 - 16:23

[Ego]

​Với $n = 1$, bđt đúng. Xét $n > 1$
Bổ đề 1. $\lim_{n\to+\infty}{(1 - \frac{1}{n})^{n}} = \frac{1}{e}$
Chứng minh. Một giới hạn quen thuộc là $\lim_{k\to+\infty}{(1 + \frac{1}{k})^{k + 1}} = e$. Thay $k$ bởi $n - 1$, có
$\lim_{n\to+\infty}(\frac{n}{n - 1})^{n} = e \implies \lim_{n\to+\infty}(1 - \frac{1}{n})^{n} = \frac{1}{e}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{2n - 1}{2n} > e(1 - \frac{1}{n})^{n} > \frac{n - 1}{n}$

Lấy $\ln$, có $\ln (2n - 1) - \ln (2n) > 1 + n\ln (1 - \frac{1}{n}) > \ln (n - 1) - \ln (n)$

1) $\ln (2n - 1) - \ln (2n) > 1 + n\ln (1 - \frac{1}{n}) \iff \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(1 - \frac{1}{n}) > 0$. Xét hàm số $f(n) = \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(1 - \frac{1}{n}) = \ln(2n - 1) - \ln(2n) - 1 - n\ln(n - 1) + n\ln(n)$ với $n \in \mathbb{N}, n \neq 1$

$f'(n) = \frac{2}{2n - 1} - \frac{1}{n} - \ln(n - 1) - \frac{n}{n - 1} + \ln(n) + 1 = \frac{1}{n(2n - 1)} - \frac{1}{n - 1} + \ln(n) - \ln(n - 1)$

$f''(n) = \frac{1- 4n}{(2n^{2} - n)^{2}} + \frac{1}{(n - 1)^{2}} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n - 1} = \frac{5n^{2} - 5n + 1}{(2n - 1)^{2}n^{2}(n - 1)^{2}} > 0 \forall n \ge 1$

Do đó $f''(n)$ là hàm tăng và liên tục trên $[2; +\infty)$ nên $f'(n) < \lim_{n\to+\infty}f'(n) = 0$. Do đó hàm $f(n)$ là hàm giảm trên $[2; +\infty)$
$\implies f(n) > \lim_{n\to+\infty}f(n) = 0$ (từ bổ đề 1)

2) $1 + n\ln(n - 1) - n\ln(n) - \ln(n - 1) + \ln(n) > 0$. Xét $g(n) = 1 + n\ln(n - 1) - n\ln(n) - \ln(n - 1) + \ln(n)$ trên $[2; +\infty)$

Có $g'(n) = \ln(n - 1) - \ln(n) + \frac{1}{n}$ và $g''(n) = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}(n - 1)} > 0$.
Từ đó có $g'(n)$ đồng biến trên $[2; +\infty)$ hay $g'(n) < \lim_{n\to+\infty}g'(n) = 0$. Do đó $g(n)$ nghịch biến trên $[2; +\infty)$
$g(n) > \lim_{n\to+\infty}g(n) = 0$.
Vậy bất đẳng thức luôn đúng.
Lời giải xấu xí quá -.-

[WhjteShadow]

Với $n=1$ thì dễ rồi. Với $n\geq 2$ viết lại điều phải chứng minh thành :

$$\frac{1}{2n}< 1-e^{1+n \ln \left( 1-\frac{1}{n}\right) }<\frac{1}{n}$$

Xét sự khai triển Taylor (tâm 0) với phần dư Lagrange của hàm $\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)$ :

$$\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3(1+c)^3}$$

Với $c$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{n}$ nên $-\frac{1}{2}\leq c\leq 0$, bằng biến đổi tương đương suy ra :

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}<\ln\left(1-\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{3n^3}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{n}<1+n \ln\left(1-\frac{1}{n}\right)<-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}$$

$$\Rightarrow 1-e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}< 1-e^{1+n \ln \left( 1-\frac{1}{n}\right) }<1-e^{-\frac{1}{n}}$$

 

Khai triển Taylor với phần dư Lagrange cho $e^{-\frac{1}{n}}$ ta có :

$$e^{-\frac{1}{n}}=1-\frac{1}{n}+\frac{e^a}{2n^2}>1-\frac{1}{n}$$

Với $a$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{n}$

$$\Rightarrow 1-e^{-\frac{1}{n}}<\frac{1}{n}$$

 

Mặt khác xét tiếp khai triển Taylor với phần dư Lagrange của $e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}$ :

$$e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}=1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac{e^b}{2}\left(-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}\right)^2$$

Với $b$ là 1 số nằm giữa $0$ và $-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}$ hay $-\frac{1}{3}\leq b\leq 0$, bằng biến đổi ta suy ra :

$$1-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+\frac{e^b}{2}\left(-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}\right)^2<1-\frac{1}{2n}$$

Hay :

$$1-e^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}}>\frac{1}{2n}$$

 

2 bất đẳng thức trên kết thúc chứng minh

--------------

Khai triển Taylor áp dụng trong bài : http://mathworld.wol...eRemainder.html

Bài toán thực chất chỉ là chứng minh $\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$, với hầu hết bài toán như vậy, áp dụng khai triển Taylor chẳng có gì khó khăn.

Big O function : https://en.wikipedia.../Big_O_notation

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-02-2016 - 11:01