Chủ đề này có 4 trả lời

[yeutoan11]

Cho đa thức bậc 3 : $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$
Biết rằng : $\left | f(x) \right |\le 1$ $\forall x$ thoả $\left | x \right |\leq 1$
Chứng minh rằng :
$\forall x$ mà $\left | x \right |\le 1$ thì : $\left | f'(x) \right | \leq 9$
P/S Thịnh : tại thầy luyện ghi nhầm ấy chứ =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 12-10-2012 - 17:41

[NLT]

P/s: Chú Huy nhanh quá ^^. Sửa lại đề nhé ! ( đa thức bậc 3 )

Bài toán tổng quát như sau : Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$. Biết rằng $\left | P(x) \right | \le 1$ $\forall x$ thỏa $|x| \le 1$.
CMR: $\forall x$ mà $|x| \le 1$ thì $|P'(x)| \le n^2$.
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 12-10-2012 - 17:41

[dark templar]

Cho đa thức bậc 3 : $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$
Biết rằng : $\left | f(x) \right |\le 1$ $\forall x$ thoả $\left | x \right |\leq 1$
Chứng minh rằng :
$\forall x$ mà $\left | x \right |\le 1$ thì : $\left | f'(x) \right | \leq 9$

Ta có $|f'(x)|=|3ax^2+2bx+c|$
Có $f(0)=d;f(1)=a+b+c+d;f(-1)=b+d-a-c;f\left(\frac{1}{2} \right)=\frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}+d$.
Suy ra:$a=f(1)+2f(0)-\frac{f(-1)}{3}-\frac{8f\left(\frac{1}{2} \right)}{3}$
$b=\frac{f(1)+f(-1)-2f(0)}{2};c=\frac{8}{3}f\left(\frac{1}{2} \right)-2f(0)-\frac{f(1)}{2}-\frac{f(-1)}{6};d=f(0)$.
Do $|f(x)| \le 1;\forall x \in [-1;1]$ nên $|f(-1)|;|f(1)|;|f(0)|;\left|f\left(\frac{1}{2} \right) \right| \le 1$.
Ta có:
$$|f'(x)|=|3ax^2+2bx+c|=\left| \left[3f(1)+6f(0)-f(-1)-8f\left(\frac{1}{2} \right) \right]x^2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]x+\frac{8}{3}f\left(\frac{1}{2} \right)-2f(0)-\frac{1}{2}f(1)-\frac{1}{6}f(-1) \right|$$
Suy ra:
$|f'(x)| \le \frac{1}{2}|6x^2+2x-1|+\frac{1}{6}|6x-6x^2-1|+2|3x^2-x-1|+\frac{8}{3}|1-3x^2|$
Cái vấn đề còn lại là chứng minh đống trị tuyệt đối trên nhỏ hơn hay bằng 9
Việc chứng minh này không quá khó,chỉ là vấn đề thời gian mà thôi .
P/s:Cách làm kiểu này không thể nào chém được bài tổng quát.@yeutoan:em có cách giải tổng quát không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 14-10-2012 - 11:05

[Ispectorgadget]

Cho đa thức bậc 3 : $f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$
Biết rằng : $\left | f(x) \right |\le 1$ $\forall x$ thoả $\left | x \right |\leq 1$
Chứng minh rằng :
$\forall x$ mà $\left | x \right |\le 1$ thì : $\left | f'(x) \right | \leq 9$

Bài này là TH riêng của định lý Berstein -Markow với 3 số :-SS dùng cách này thì làm được bài tổng quát
Đặt $x=\cos a$ theo giả thiết $|f(\cos a|\le 1$
$f(\cos a) $ có dạng $f(\cos a)=\sum_{j=0}^3(a_j\cos j\alpha+b_j \sin j\alpha)$
Sử dụng kết quả sau: giả thiết đa thức $P_{n-1}(x)$ thỏa đk $n\ge 1$ thì $|P_{n-1}(x)|\le n\forall x\in [-1;1]$
ta được $|\sin \alpha f'_3(\cos \alpha)|\le 3\Rightarrow \sqrt{1-x^2}|\frac{f'_3(x)}{3}|\le 1$
Sử dụng tiếp kết quả trên ta có $$|\frac{f'_3(x)}{3}|\le 3 \Rightarrow |f'(x)|\le 9$$
Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-10-2012 - 08:42

[Ispectorgadget]

Bài toán tổng quát như sau : Cho đa thức $P(x)$ bậc $n$. Biết rằng $\left | P(x) \right | \le 1$ $\forall x$ thỏa $|x| \le 1$.
CMR: $\forall x$ mà $|x| \le 1$ thì $|P'(x)| \le n^2$.
___

Giải y như trên

Đặt $x=\cos a$ theo giả thiết $|P(\cos a|\le 1$
$P(\cos a) $ có dạng $P(\cos a)=\sum_{j=0}^n(a_j\cos j\alpha+b_j \sin j\alpha)$
Sử dụng kết quả sau: giả thiết đa thức $P_{n-1}(x)$ thỏa đk $n\ge 1$ thì $|P_{n-1}(x)|\le n\forall x\in [-1;1]$
ta được $|\sin \alpha f'_n(\cos \alpha)|\le n\Rightarrow \sqrt{1-x^2}|\frac{P'_n(x)}{n}|\le 1$
Sử dụng tiếp kết quả trên ta có $$|\frac{P'_n(x)}{n}|\le n \Rightarrow |P'(x)|\le n^2$$
Đpcm.