Đến nội dung

Hình ảnh

Topic nhận đề nguyên hàm, tích phân


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:

- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...


Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
-
Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.



BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về Nguyên hàm, tích phân. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

Chú ý
Hiện tại, mới có 8 toán thủ được chọn đề, các toán thủ còn lại chưa được chọn đề cần khẩn trương ra đề, toán thủ nào nhiều trận không ra đề có thể sẽ có nguy cơ bị loại cao

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết
Đề bài: Tính tích phân

$$\int_{0}^{1}|t^{2}-2t+k|\, dt$$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Bài giải:


Đặt $f(t)=t^{2}-2t+k$. Ta tính và xét dấu của nó.

Ta có: $\Delta '=1-k$


Ảnh chụp màn hình_2012-10-30_222618.png


Trường hợp 1: $k\geq 1$

Khi đó $\Delta '\leq 0$, tức là $f(t)\geq 0$ với mọi $t$. Suy ra $f(t)\geq 0$ khi $t \in [0;1]$ hay $|t^{2}-2t+k|=t^{2}-2t+k;\forall t \in [0;1]$.

Vậy $\int_{0}^{1}|t^{2}-2t+k|\, dt=(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+kt) |_{0}^{1}=k-\frac{2}{3}$


Trường hợp 2: $k<1$

Khi đó $\Delta >0$ và $f(t)$ có 2 nghiệm $t_{1}=1-\sqrt{1-k}$ và $t_{2}=1+\sqrt{1-k}$, với $t_{1}<1<t_{2}$, ta có bảng xét dấu của $f(t)$ như sau:


Ảnh chụp màn hình_2012-10-30_235933.png

- Nếu $t_{1}\leq 0$, tức là $1-\sqrt{1-k}\leq 0$, hay $k\leq 0$ thì:

Ảnh chụp màn hình_2012-10-30_231349.png

Vậy $|t^{2}-2t+k|=-t^{2}+2t-k;\forall t \in [0;1]$, do đó $\int_{0}^{1}|t^{2}-2t+k|\, dt=(\frac{-t^{3}}{3}+t^{2}-kt) |_{0}^{1}=\frac{2}{3}-k$

- Nếu $t_{1} > 0$, tức là $1-\sqrt{1-k}>0$, hay $k>0;(0<k<1)$ thì:


Ảnh chụp màn hình_2012-10-30_233844.png

Vậy $f(t)\geq 0$ khi $t \in [0;t_{1}]$ và $f(t)\leq 0$ khi $t \in [t_{1};1]$, do đó:

$\int_{0}^{t_{1}}(t^{2}-2t+k)dt+\int_{t_{1}}^{1}(-t^{2}+2t-k)dt$

$=(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+kt) |_{0}^{t_{1}}-(\frac{t^{3}}{3}-t^{2}+kt) |_{t_{1}}^{1}$

$=\frac{2}{3}t_{1}^{3}-2t_{1}^{2}+2kt_{1}+\frac{2}{3}t$ (với $t_{1}=1-\sqrt{1-k}$)

$=\frac{4(1-k)\sqrt{1-k}+3k-2}{3}$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#3
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Đề của toán thủ luuxuan9x .

Tính tích phân:$\int_{0}^{1}(x^2.e^{x^3}+\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}})dx$

Bài giải:

Đặt $I=\int_{0}^{1}(x^2.e^{x^3}+\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}})dx$

Ta có $I=\int_{0}^{1}x^2.e^{x^3}dx+\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$

Tính:$I_1=\int_{0}^{1}x^2.e^{x^3}dx$

Đặt $t=x^3$ ta có $I_1=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}e^tdt=\frac{1}{3}e-\frac{1}{3}$

Tính $I_2=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$

Đặt $t=\sqrt[4]{x}=>x=t^4=>dx=4t^3dt$

Khi đó $I_2=4\int_{0}^{1}\frac{t^4}{1+t^2}dt=4\int_{0}^{1}(t^2-1+\frac{1}{1+t^2})dt=4(-\frac{2}{3}+\frac{\pi }{4})$

Vậy $I=I_1+I_2=\frac{1}{3}e+\pi -3$

#4
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Toán thủ luuxuan9x ra đề.

Tính $I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+3x^2)^2}$

Giải:

Đặt $x=\frac{1}{\sqrt{3}}tant,t\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$

Khi đó ta có:

$dx=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+tan^2t)dt$; $1+3x^2=1+tan^2t$

Khi $x=0$ =>$t=0$ ;$x=1 =>t=\frac{\pi }{3}$

Ta có $I=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\frac{dt}{1+tan^2t}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}cos^2t.dt=\frac{1}{2\sqrt{3}}\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}(1+cos2t)dt$

=>$I=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}+\frac{1}{8}$

Vậy $I=\frac{\pi }{6\sqrt{3}}+\frac{1}{8}$

#5
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
Đề bài:
Tính tích phân :$I= \int_{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{x+ cos5x –cos4x}{1+2cos3x} dx$
Giải:
$I= \int_{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{x }{1+2cos3x} dx+ \int_{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{ cos5x –cos4x}{1+2cos3x} dx$
Xét $I_{1}= \int_{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{x }{1+2cos3x} dx$
Đặt $f(x)=\frac{x}{1+2cos3x}$
Với mọi $x \in \left[\frac{-\pi}{8};\frac{\pi}{8}\right] $ có
$f(x)=-f(x)$,đặt $x=-t \Rightarrow dx=-dt$
$\Rightarrow I_1=-\int _{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}f(-t)dt$
$=-\int _{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}}f(x)dx=-I_1=0$
Xét $I_2=-\int _{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} \frac{\cos5x-\cos4x}{1+2\cos3x}dx$
Ta có:
$\cos5x +cosx=2\cos3x.\cos2x$
$\cos4x+\cos2x=2\cos3x.cosx$
$\Rightarrow \cos5x-\cos4x=\cos2x-cosx +2\cos3x(\cos2x-cosx)$
$\Rightarrow \cos5x -\cos4x=(\cos2x-cosx)(2\cos3x+1)$
$\Rightarrow \frac{\cos5x-\cos4x}{1+2\cos3x}=\cos2x-cosx$
$\Rightarrow I_2=-\int _{\frac{-\pi}{8}}^{\frac{\pi}{8}} (\cos2x-cosx)dx$
$=(\frac{\sin2x}{2}-sinx) \left.\begin{matrix}{\frac{\pi}{8}} \\ {\frac{-\pi}{8}}\end{matrix}\right|$
$=\frac{\sqrt 2}{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}$
Vậy $I=I_1 +I_2=\frac{\sqrt 2}{2}-\sqrt{2-\sqrt{2}}$

#6
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Đề: Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinxcosxdx}{\sqrt{acos^2x+bsin^2x}}$ với $a>0;b>0$
Lời giải:
*Xét $a=b$:
Ta có: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sinxcosxdx}{\sqrt{a(cos^2x+sin^2x)}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}sin2xdx=-\frac{1}{4\sqrt{a}}$$.[cos2x]|^\frac{\pi }{2}_0$ $=-\frac{1}{4\sqrt{a}}.(-1-1)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$
Hay $I=\frac{1}{2\sqrt{a}}$
*Xét $a\neq b$:
Đổi biến số: $u=\sqrt{acos^2x+bsin^2x}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}u^2=acos^2x+bsin^2x & & \\ 2udu=2(b-a)sinxcosxdx & & \end{matrix}\right.$
Đồi cận: $x=0\Rightarrow u=\sqrt{a};x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow b=\sqrt{b}$
Ta có: $I=\frac{1}{b-a}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(b-a)sinxcosxdx}{\sqrt{acos^2x+bsin^2x}}$$=\frac{1}{b-a}\int_{\sqrt{a}}^{\sqrt{b}}\frac{udu}{u}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$
Hay $I=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}$
Vậy$I=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2\sqrt{a}}\textbf{ khi a=b} & & \\ \frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}\textbf{ khi a}\neq \textbf{b} & & \end{matrix}\right.$


#7
chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
Đề: tính tích phân:
$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$
Giải:
ta có:
$I= \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x+7\cos x+6}{4\sin x+3\cos x+5}dx$
Đặt $t = \tan \frac{x}{2}$ ta có $dt = \frac{1}{2}(1+ \tan ^{2}\frac{x}{2})dx = \frac{1}{2}(1+t^2)dx$
$\Rightarrow dx = \frac{2dt}{1+t^2}$
và $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $ \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2}$
khi $x=0$ thì $t=0$ , khi $x= \frac{\pi}{2}$ thì t=1


vậy $I=\int_{0}^{1}\frac{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{7(1-t^2)}{1+t^2}+6}{\frac{8t}{1+t^2}+\frac{3(1-t^2)}{1+t^2}+5}.\frac{2dt}{1+t^2}$

=$\int_{0}^{1}\frac{-t^2+2t+13}{(t+2)^2(1+t^2)}dt$

=$\int_{0}^{1}[\frac{2}{t+2}+\frac{1}{(x+2)^2}+\frac{-2t+2}{t^2+1}]dt$

=$2\ln \left | t+2 \right |\mid ^1_0-\frac{1}{t+2}\mid^1_0-\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}d(t^2)+2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$

=$2\ln \left | t+2 \right |\mid ^1_0-\frac{1}{t+2}\mid^1_0-\ln \left | t^2+1 \right |\mid ^1_0+2\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$


Xét $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^2+1}$,dặt $t=\tan u$ ta có: $dt=(1+\tan ^2u)du$
khi $t=0$ thì $u=0$, khi $t=1$ thì $u=\frac{\pi}{4}$
Do đó $\int_{0}^{1}\frac{2dt}{t^2+1}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(1+\tan ^2u)du}{1+\tan ^2u}=u\mid^\frac{\pi }{4}_0=\frac{\pi }{4}$
Vậy: $I= 2\ln 3-3\ln 2+\ln 1+\frac{1}{6}+\frac{\pi }{2}$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh