Mở rộng 1 :
Giải phương trình :
$a\sqrt[3]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[3]{1-x^2} +b\sqrt[3]{(1-x)^2} =0$
Bài giải :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[3]{1+x}+b\sqrt[3]{1-x}) .(\sqrt[3]{1+x} +\sqrt[3]{1-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{1+x} =-\sqrt[3]{1-x} :\text{Vô nghiệm} $ hoặc $a\sqrt[3]{1+x}=-b\sqrt[3]{1-x}$
$\Leftrightarrow a^3 (1+x) =b^3 (1-x)$
$\Leftrightarrow a^3 -b^3 +x (a^3 +b^3) =0$
Với $a^3 +b^3 =0 (a \neq b) \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Với $a=b=0$ thì phương trình vô số nghiệm .
Với $a^3 +b^3 \neq 0$
$PT \Leftrightarrow x =\frac{b^3 -a^3}{a^3 +b^3}$
Mở rộng 2:
Em cho bậc của căn lên 2k+1 .
Giải phương trình :
$a\sqrt[2k+1]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[2k+1]{1-x^2} +b\sqrt[2k+1]{(1-x)^2} =0$
Bài giải :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[2k+1]{1+x}+b\sqrt[2k+1]{1-x}) .(\sqrt[2k+1]{1+x} +\sqrt[2k+1]{1-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[2k+1]{1+x} =-\sqrt[2k+1]{1-x} :\text{Vô nghiệm} $ hoặc $a\sqrt[2k+1]{1+x}=-b\sqrt[2k+1]{1-x}$
$\Leftrightarrow a^{2k+1} (1+x) =b^{2k+1} .(1-x)$
$\Leftrightarrow a^{2k+1} -b^{2k+1} +x (a^{2k+1} +b^{2k+1}) =0$
Với $a^{2k+1} +b^{2k+1} =0 (a \neq b) \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Với $a=b=0$ thì phương trình vô số nghiệm .
Với $a^{2k+1} +b^{2k+1} \neq 0$
$PT \Leftrightarrow x =\frac{b^{2k+1} -a^{2k+1}}{a^{2k+1} +b^{2k+1}}$
Mở rộng 3 :
Em cho bậc lên 2k (cái này có phần khác )
Giải phương trình :
$a\sqrt[2k]{(1+x)^2} +(a+b)\sqrt[2k]{1-x^2} +b\sqrt[2k]{(1-x)^2} =0$
Đk $1 \geq x \geq -1$---Với a và b cùng lớn hơn 0$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm
---Với a và b không cùng lớn hơn 0
$\Rightarrow$ Giải tương tự $\Rightarrow a\sqrt[2k]{1+x} =-b\sqrt[2k]{1-x}$
** với a và b cùng dấu $\Rightarrow PT$ vô nghiệm .** với a và b khác dấu Đến đây ta giải tương tự và kết hợp với đkVà qua mở rộng này ta có 2 điều cần lưu ý .
Mở rộng 4 :
Em bậc cả của căn với biểu thức trong căn lên .
$a\sqrt[k]{(1+x)^{2n}} +(a+b)\sqrt[k]{(1-x^2)^n} +b\sqrt[k]{(1-x)^{2n}} =0$
Bài làm:
Giải tách ra mr 2 và 3 về phần điều kiện .
$pT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(1+x)^n} +\sqrt[k]{(1-x)^n})(a\sqrt[k]{(1+x)^{n}} +b\sqrt[k]{(1-x)^{n}}) =0$
$PT \Leftrightarrow \sqrt[k]{(1+x)^n} =-\sqrt[k]{(1-x)^n} :\text{tách chẵn và lẻ ở k rồi làm tương tự mr 2,3}$
Hoặc $a\sqrt[k]{(1+x)^{n}} =-b\sqrt[k]{(1-x)^{n}} :\text{tách chẵn và lẻ ở k rồi làm tương tự mr 2,3}$
Mở rộng 5
Không chỉ dừng lại ở 1 . ta còn có thể đổi 1 thành y
Giải phương trình :
$a\sqrt[3]{(y+x)^2} +(a+b)\sqrt[3]{y^2-x^2} +b\sqrt[3]{(y-x)^2} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (a\sqrt[3]{y+x}+b\sqrt[3]{y-x}) .(\sqrt[3]{y+x} +\sqrt[3]{y-x}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{y+x} =-\sqrt[3]{y-x} :\text{y=0 và với mọi x hoặc $y \neq 0 \Rightarrow PT$ vô nghiệm } $
hoặc $a\sqrt[3]{y+x}=-b\sqrt[3]{y-x}$
$\Leftrightarrow a^3 (y+x)=-b^3(y-x)$
$\Leftrightarrow y(a^3 +b^3) +x(a^3 -b^3)=0$
Lý luận tương tự Mr 3
$\Leftrightarrow x =\frac{-y(a^3 +b^3)}{a^3 -b^3}$
Mở rộng 6 :
Khi đã đổi 1 sang y . Ta còn có thể tăng bậc của căn lên ( cho gọn em cho bậc k thôi không thành 2k +1 với 2k nữa )
Giải phương trình :
$a\sqrt[k]{(y+x)^2} +(a+b)\sqrt[k]{y^2-x^2} +b\sqrt[k]{(y-x)^2} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(y+x)} +\sqrt[k]{(y-x)})(a\sqrt[k]{(y+x)}+b\sqrt[k]{(y-x)}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[k]{(y+x)} =-\sqrt[k]{(y-x)} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$
hoặc $a\sqrt[k]{(y+x)}=-b\sqrt[k]{(y-x)} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$
Mở rộng 7:
Bậc cả căn và biểu thức trong căn lên :
Giải phương trình :
$a\sqrt[k]{(y+x)^{2n}} +(a+b)\sqrt[k]{(y^2-x^2)^n} +b\sqrt[k]{(y-x)^{2n}} =0$
Bài làm :
$PT \Leftrightarrow (\sqrt[k]{(y+x)^{n}} +\sqrt[k]{(y-x)^{n}})(a\sqrt[k]{(y+x)^{n}} +b\sqrt[k]{(y-x)^{n}}) =0$
$\Leftrightarrow \sqrt[k]{(y+x)^{n}} =-\sqrt[k]{(y-x)^{n}} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$
$\Leftrightarrow a\sqrt[k]{(y+x)^{n}} =-b\sqrt[k]{(y-x)^{n}} :\text{tách chẵn lẻ và giải tương tự}$