Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 11 - Dãy số - giới hạn


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 2/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 11 có 24 toán thủ tham gia nên trận này không áp dụng luật loại trực tiếp.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Vì trieuthuymath không ra đề nên BTC sẽ ra đề.
Bài toán: Với $n \in \mathbb{N}^*$, đặt
\[
x_n = \sqrt {2 + \sqrt[3]{{3 + \sqrt[4]{{4 + ... + \sqrt[n]{{n + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1}}}}}}}}}
\]
Chứng minh rằng: $x_{n + 1} - x_n < \frac{1}{{n!}} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$. $(x_n)$ hội tụ hay không? Chứng minh.
1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#3
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết
Em làm đc 1 ít, mà có vẻ dựa vào cảm nhận nhiều quá. Thôi thì cứ làm, thà sai còn hơn bỏ sót:
Dễ thấy $x_{n} < x_{n+1} (1)$
Ta c/m: $x_{n} < 2 (2)$
+)$x_{1}=\sqrt{2}<2$ => (2) đúng với n =1.
+) Giả sử (2) đúng đến $n=k$
tức là: $x_{k} < 2$
+) Ta c/m (2) đúng vs $n=k+1$
tức là cần c/m: $x_{k+1} < 2$
$\Leftrightarrow x_{k+1}^{2} < 4 \Leftrightarrow 2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+...+\sqrt[n+2]{n+2}}}<4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+...+\sqrt[n+2]{n+2}}}<2$.
Ta c/m đc: $\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+...+\sqrt[n+2]{n+2}}}< x_{k}$ nên (2) đúng với $n=k+1$.
Do đó (2) đúng với mọi n thuộc N*.
Từ (1) & (2) ta có $(x_{n})$ là dãy đơn điệu tăng bị chặn trên nên $(x_{n})$ hội tụ.

D-B=49h
E=5
F=0
S=16

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 08-11-2012 - 20:46

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#4
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#5
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Đáp án chính thức:
Trước hết, ta có bổ đề sau: Với $n \in \mathbb{N};n>1$ và $a>1;b>0$:\[
\sqrt[n]{{a + b}} < \sqrt[n]{a} + \frac{b}{n}\quad \left( * \right)
\]
Thật vậy:
\[
\left( {\sqrt[n]{a} + \frac{b}{n}} \right)^n = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i \left( {\frac{b}{n}} \right)^i a^{\frac{{n - i}}{n}} } > C_n^0 a + C_n^1 \frac{b}{n}.a^{\frac{{n - 1}}{n}} > a + n.\frac{b}{n} = a + b
\]
Suy ra (*) đúng. Quay lại bài toán.
Với $n=1$, ta có: \[
x_2 = \sqrt {2 + \sqrt[3]{3}} < \sqrt {2 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt 4 = 2 < 1 + \sqrt 2 = 1 + x_1
\]
Suy ra $x_2-x_1<1=\dfrac{1}{1!} \quad (1)$.
Xét $n>1$, áp dụngg (*), ta có:
\[
\begin{array}{l}
\sqrt[{n + 1}]{{n + 1 + \sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}} < \sqrt[{n + 1}]{{n + 1}} + \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{n + 1}} \\
\Rightarrow \sqrt[n]{{n + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1 + \sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}}} < \sqrt[n]{{n + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1}} + \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{n + 1}}}} < \sqrt[n]{{n + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1}}}} + \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} \\
\Rightarrow ... \\
\Rightarrow \sqrt {2 + \sqrt[3]{{3 + ... + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1 + \sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}}}} < \sqrt {2 + \sqrt[3]{{3 + ... + \sqrt[{n + 1}]{{n + 1}}}}} + \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{2.3....n\left( {n + 1} \right)}} \\
\Rightarrow x_{n + 1} < x_n + \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \\
\end{array}
\]
Ta lại có:
\[
\forall n \ge 2:n + 2 < \sum\limits_{i = 0}^{n + 2} {C_{n + 2}^i n^i } = \left( {n + 1} \right)^{n + 2} \Rightarrow \sqrt[{n + 2}]{{n + 2}} < n + 1 \Rightarrow \frac{{\sqrt[{n + 2}]{{n + 2}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} < \frac{1}{{n!}}
\]
Do đó\[
x_{n + 1} - x_n < \frac{1}{{n!}} \quad \forall n \ge 2 \quad (2)
\]
Kết hợp (1) và (2), ta có $x_{n+1}-x_n<\dfrac{1}{n!} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Ta chứng minh $(x_n)$ hội tụ. Thật vậy, $\forall \varepsilon>0$ cho trước, chọn được $N_0 \in \mathbb{N}:N_0>\dfrac{1}{\varepsilon}$. Xét hiệu:
\[
\begin{array}{l}
\left| {x_{q + p} - x_q } \right| \le \left| {x_{q + p} - x_{q + p - 1} } \right| + \left| {x_{q + p - 1} - x_{q + p - 2} } \right| + ... + \left| {x_{q + 1} - x_q } \right| \\
< \frac{1}{{\left( {q + p - 1} \right)!}} + \frac{1}{{\left( {q + p - 2} \right)!}} + ... + \frac{1}{{q!}} \\
< \frac{1}{{\left( {q + p - 1} \right)\left( {q + p - 2} \right)}} + \frac{1}{{\left( {q + p - 2} \right)\left( {q + p - 3} \right)}} + ... + \frac{1}{{q\left( {q - 1} \right)}} \\
= \frac{1}{{q + p - 2}} - \frac{1}{{q + p - 1}} + \frac{1}{{q + p - 3}} - \frac{1}{{q + p - 2}} + ... + \frac{1}{{q - 1}} - \frac{1}{q} \\
= \frac{1}{{q - 1}} - \frac{1}{{q + p - 1}} < \frac{1}{{q - 1}} \\
\end{array}
\]
Do đó, \[
\forall p,q > N_0 :\left| {x_p - x_q } \right| < \frac{1}{{\min \left\{ {p;q} \right\} - 1}} \le \frac{1}{{N_0 }} < \varepsilon
\]
Suy ra $(x_n)$ là dãy Cauchy nên $(x_n)$ hội tụ.
1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#6
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết
Tìm $lim(x_{n})$ như thế nào ạ?

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh