Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq \frac{1}{6}$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$$

[tim1nuathatlac]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b^3+16}+\frac{b}{c^3+16}+\frac{c}{a^3+16}\geq \frac{1}{6}$$

Giả sử $a=min\left \{ a,b,c \right \}$

Trường hợp 1 $a=0\Rightarrow b+c=3$

Như vậy cần chỉ ra $\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{16}\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow \left ( c-2 \right )^{2}\left ( 3c^{2}+4c+4 \right )\geq 0$ luôn đúng.

Trường hợp 2 $a> 0$ và ta phải chỉ ra $\frac{a}{b^{3}+16}+\frac{b}{c^{3}+16}+\frac{c}{a^{3}+16}> \frac{1}{6}$. Thật vậy:

$16VT=\sum a-\left ( \frac{ab^{3}}{b^{3}+8+8}+\frac{bc^{3}}{c^{3}+8+8}+\frac{ca^{3}}{a^{3}+8+8} \right )\geq 3-\sum_{cyc}\frac{ab^{2}}{12}$

$> 3-\frac{\sum_{cyc}ab^{2}+abc}{12}\geq 3-\frac{\frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{2}}{12}=\frac{26}{9}\Rightarrow VT> \frac{13}{72}> \frac{1}{6}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi $\left ( a,b,c \right )=\left ( 0,1,2 \right )$ và các hoán vị tương đương của chúng.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Có như vậy là do $\forall a,b,c\in R^{+}$ thì ta luôn có $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{2}$

[tim1nuathatlac]

Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$$

Giờ mới tìm thấy bài này của Đạt

Giả thiết cho ta $\left ( \frac{a}{c}+1 \right )\left ( \frac{b}{c}+1 \right )=4\Leftrightarrow x+y+xy=3$ nếu ta đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$

Như vậy cần tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{x}{3+y}+\frac{y}{3+x}+\frac{xy}{x+y}$, bằng giác quan thứ 6 dự đoán $Max=1$.

Đổi biến $\left ( x+y;xy \right )\rightarrow \left ( S,P \right )\Rightarrow S+P=3$, do $xy\leq ^{AM-GM}\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}\Rightarrow 2\leq S< 3$

Như vậy phải chỉ ra $P=\frac{S^{2}-2P+3S}{9+3S+P}+\frac{P}{S}\leq 1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( S-1 \right )+\frac{3-S}{S}\leq 1\Leftrightarrow \left ( S-2 \right )\left ( S-3 \right )\leq 0$ luôn đúng.

Kết thúc chứng minh$\square$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$