Chủ đề này có 1 trả lời

[Mai Xuan Son]

Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n\epsilon N$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 09-11-2012 - 15:09

[nhungvienkimcuong]

Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n\epsilon N$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$ tồn tại vô số số k nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho p
___

giả sử trong dãy $(a_n)$ chỉ có hữu hạn số chia hết cho $p$ thì gọi $a_k$ là chữ số cuối cùng trong dãy chia hết cho $p$

từ giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix} a_{3k}=a_{3k-1}+a_k\\a_{3k+1}=a_{3k}+a_k \\a_{3k+2}=a_{3k+1}+a_k \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a_{3k+2}\equiv a_{3k+1}\equiv a_{3k}\equiv a_{3k-1}\equiv x(mod\ p)$ với $(x,p)=1$

ta có

$\left\{\begin{matrix} a_{9k-4}\equiv a_{9k-4}+0.x(mod\ p)\\ a_{9k-3}=a_{9k-4}+a_{3k-1}\equiv a_{9k-4}+1.x(mod\ p) \\ a_{9k-2}=a_{9k-3}+a_{3k-1}\equiv a_{9k-4}+2.x(mod\ p) \\ .... \\ a_{9k+8}=a_{9k+7}+a_{3k+2}\equiv a_{9k+4}+12.x(mod\ p) \end{matrix}\right.$

vì $(x,p)=1\Rightarrow \mathcal{X}=\left \{ a_{9k-4}+i.p|i=\overline{0,p-1} \right \}$ là $\text{HĐĐ}$ $mod\ p$ 

$\Rightarrow$ một trong các số $a_{9k-4},a_{9k-3},...$ chia hết cho $p$

mà $9k+j>k,j=-4,-3,...$ do đó mâu thuẫn với giả sử ban đầu nên ta có $\text{Q.E.D}$