Chủ đề này có 9 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 9/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 12 có 24 toán thủ tham gia nên trận này không áp dụng luật loại trực tiếp.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

[E. Galois]

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$, trong đó n là số nguyên dương.

Đề của luuxuan9x

[namcpnh]

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$, trong đó n là số nguyên dương.

Đề của luuxuan9x

Tình hình là dạng bài này mình đã gặp khi ôn thi Olimpic 30-4 năm ngoái.

Bài giải:

Trước hết ta xét hiệu:$A=3^{2^{n}}-1$

=>$A=(3-1)(3+1)(3^{2}+1)(3^{2^{2}}+1)...(3^{2^{n-1}}+1)$

Bây giờ ta sẽ chứng minh $3^{2^{k}}+1$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.

Thật vậy:Ta có $3\equiv -1(mod4)$

=>$3^{2^{k}}\equiv (-1)^{2^{k}}\equiv 1(mod4)$

=>$3^{2^{k}}+1\equiv 2(mod4)$ =>điều phải chứng minh.

Với nhận xét trên ta có $3^{2^{k}}+1=2a_k$ với a lẻ.

=>$(3^{2}+1)(3^{2^{2}}+1)(3^{2^{2}}+2)...(3^{2^{n-1}}+1)=2^{n-1}.a_1.a_2...a_{n-1}$

=>$(3^{2}+1)(3^{2^{2}}+1)(3^{2^{2}}+2)...(3^{2^{n-1}}+1)=2^{n-1}.(2b+1)$ (vì $a_1.a_2...a_{n-1}$ là số lẻ)

Khi đó $A=2.4.2^{n-1}(2b+1)=b.2^{n+3}+2^{n+2}$

=>$3^{2^{n}}=A+1=2.4.2^{n-1}(2b+1)+1=b.2^{n+3}+2^{n+2}+1$

Vậy số dư trong phép chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$ là $2^{n+2}+1$
__________________________
Bài làm rõ ràng, đầy đủ và chính xác!
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=55$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 10:56
Chấm điểm

[WhjteShadow]

Tìm phần dư khi chia $3^{2^{n}}$ cho $2^{n+3}$, trong đó n là số nguyên dương.

Đề của luuxuan9x

Ta sẽ chứng minh:
$$3^{2^{n}} \equiv 2^{n+2}+1 \,\, (Mod \, 2^{n+3})$$
Thật vậy điều đó tương đương:
$$3^{2^{n}}-(2^{n+2}+1) \vdots 2^{n+3}\,\,(*)$$
$\bullet$ Với $n=1$ thì dễ thấy $(*)$ luôn đúng (Do $3^{2^{1}}-(2^{1+2}+1)=0$ )
$\bullet$ Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$ ($k\in N^{*}$ ) hay là:
$$3^{2^{k}}-(2^{k+2}+1) \vdots 2^{k+3}$$
$$\Rightarrow 3^{2^{k}}=2^{k+3}.c+2^{k+2}+1\,\,\,(c\in N^{*})\,\,\,(**)$$
$\bullet$ Ta sẽ chứng minh $(*)$ cũng đúng với $n=k+1$ hay là:
$$3^{2^{k+1}}-(2^{k+3}+1) \vdots 2^{k+4}$$
Từ $(**)$ ta có :
$$\left(3^{2^{k}}\right)^2=\left(2^{k+3}.c+2^{k+2}+1\right)^2$$
$$\Leftrightarrow 3^{2^{k+1}}=\left(2^{k+3}.c\right)^2+2c.2^{2k+5}+2^{k+3}+2^{2k+4}+2^{k+4}+1$$
$$\Leftrightarrow 3^{2^{k+1}}-[2^{k+3}+1]=\left(2^{k+3}.c\right)^2+2c.2^{2k+5}+2^{2k+4}+2^{k+4}\vdots 2^{k+4}$$
(Do $k\in N^{*}$)
Vậy the0 quy nạp ta có (*) đúng.
Vậy :
$$3^{2^{n}} \equiv 2^{n+2}+1 \,\, (Mod \, 2^{n+3})$$
__________________________
Yêu cầu không dùng "mực" đỏ trong bài làm
Quy nạp là một công cụ mạnh trong việc chứng minh, tuy nhiên ta cũng cần phải dùng một số "phép thử" mới có thể "dự đoán" được biểu thức cần quy nạp chứ nhỉ?
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+9=64$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 11:09
Chấm điểm

[WhjteShadow]

Cách 2 :
Xét : $3^{2^n}-1=(3^{2^{n-1}}+1)(3^{2^{n-2}}+1)...(3^2+1)(3+1)(3-1)=[\prod_{k=1}^{n-1}(3^{2^k}+1)].8$
Ta Có : $3^{2^k}+1\equiv 2 (\mod 4)$ $(k = \overline{1,n-1})$ $\quad$ Cái này tuy dễ nhưng cũng cần chứng minh!
$\Rightarrow 3^{2^k}+1=4c+2=2(2c+1)$
$\Rightarrow v_2(3^{2^k}+1)=1$ $(k = \overline{1,n-1})$ $(\quad v_2(n)$ là số mũ cao nhất của $2$ trong phân tích tiêu chuẩn của $n$, em cần phải chú thích ký hiệu một cách rõ ràng$)$
$\Rightarrow v_2(3^{2^n}-1) =v_2([\prod_{k=1}^{n-1}(3^{2^k}+1)].8)=[\sum_{k=1}^{n-1}v_2(3^{2^k}+1)]+v_2(8)=n+2$
Vậy $3^{2^n}-1 = 2^{n+2}.d$ với $d$ lẻ
$\Rightarrow 3^{2^n} = 2^{n+2}.(d-1) + 2^{n+2}+1$
Mà $d$ lẻ nên $2^{n+2}.(d-1) \vdots 2^{n+3}$
$\Rightarrow 3^{2^n}\equiv 2^{n+2}+1 \pmod {2^{n+3}}$

__________________
Điểm thưởng: $d_t=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 11:09
Chấm điểm

[chinhanh9]

Bài này em không giải được nhưng nếu sửa lại đề là tìm số dư khi chia cho $\large 2^{n+2}$thì em giải lại ra
Cụ thể là như thế này:
Ta có: $\large 3^{2^{n}}-1= \left ( 3^{2^{n-1}} +1\right )\left ( 3^{2^{n-1}} -1\right )$
$\large = \left ( 3^{2^{n-1}} +1\right )\left ( 3^{2^{n-2}} +1\right )\left ( 3^{2^{n-2}} -1\right )$$\large = \left ( 3^{2^{n-1}} +1\right )\left ( 3^{2^{n-2}} +1\right )...\left ( 3^{2^{0}} +1\right )\left ( 3^{2^{0}} -1\right )$
$\large = 2^{3}\prod_{k=1}^{n-1}\left ( 3^{2^{k}} +1\right )$
Vì $\large \left ( 3^{2^{n}} +1\right )\vdots 2$ (và không chia hết cho 4 ) nên $\large 2^{3}\prod_{k=1}^{n-1}\left ( 3^{2^{k}}+1 \right )\vdots 2^{n+2}$$\large \Rightarrow \left ( 3^{2^{n}}-1\right ) \vdots 2^{n+2}$
Vậy $\large 3^{2^{n}}$ chia $\large 2^{n+2}$ dư 1
Lâu rồi chưa giải bài nào, lần này cũng í ẹ quá
_____________________________________
Khá đáng tiếc cho bài làm này khi "quên mất" rằng $3^{2^n}-1=8.2^{n-1}(2m+1)$ nên mới không dẫn đến đâu cả!
Chấm điểm: $d=0$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-48}{2}\right\rfloor+3\times 0+0+0=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-11-2012 - 11:21
Chấm điểm

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[NLT]

Cách 2 :
Xét : $3^{2^n}-1=(3^{2^{n-1}}+1)(3^{2^{n-2}}+1)...(3^2+1)(3+1)(3-1)=[\prod_{k=1}^{n-1}(3^{2^k}+1)].8$
Ta Có : $3^{2^k}+1\equiv 2 (\mod 4)$ $(k = \overline{1,n-1})$
$\Rightarrow 3^{2^k}+1=4c+2=2(2c+1)$
$\Rightarrow v_2(3^{2^k}+1)=1$ $(k = \overline{1,n-1})$
$\Rightarrow v_2(3^{2^n}-1) =v_2([\prod_{k=1}^{n-1}(3^{2^k}+1)].8)=[\sum_{k=1}^{n-1}v_2(3^{2^k}+1)]+v_2(8)=n+2$
Vậy $3^{2^n}-1 = 2^{n+2}.d$ với $d$ lẻ
$\Rightarrow 3^{2^n} = 2^{n+2}.(d-1) + 2^{n+2}+1$
Mà $d$ lẻ nên $2^{n+2}.(d-1) \vdots 2^{n+3}$
$\Rightarrow 3^{2^n}\equiv 2^{n+2}+1 \pmod {2^{n+3}}$

Phải kí hiệu $v_2(...)$ là gì Đạt nhé! Vì LTE có thể là không được sử dụng trong chương trình phổ thông ở Việt Nam, mình nghĩ vậy !
___
NLT

[namcpnh]

Sao giờ này chưa chấm bài và chưa có đề mới nữa vậy các thầy?

[hxthanh]

- Do có một vài sự cố, nên đã xảy ra chậm trễ trong việc chấm bài trận này. BTC xin chân thành cáo lỗi cùng các toán thủ!

Điểm cho toán thủ ra đề: $D_{rd}=4\times 1+3\times 21+2\times 0+30=97$

_____________
- BTC yêu cầu các toán thủ chưa có đề được chọn, khẩn trương nộp đề cho BTC.
- Các toán thủ có $24$ giờ để thắc mắc về bài làm và điểm số của mình.