Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2$$

đẳng thức catalan.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 21-11-2012 - 09:19

Dành tặng cho mấy em THPT :)
Bài toán: Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:
$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 09:20

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 28-01-2016 - 02:06

Dành tặng cho mấy em THPT :)
Bài toán: Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci.Chứng minh đẳng thức Catalan:
$$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2(1 \le k \le n)$$

Nhìn qua cứ tưởng dễ, ai dè trâu vật vã.

Không mất tính tổng quát, ta mở rộng dãy Fibonacci đã cho với cả các chỉ số âm, tức là $F_0, F_{-1}, F_{-2}, .....$ tồn tại. Việc quy ước này chỉ làm tiện cho việc tính toán mà không ảnh hưởng đến bài toán. Trước khi chứng minh bài toán, ta sẽ chứng minh một tính chất quan trọng sau (gọi là tính chất Catalan cho gọn):

Với mọi $m>n$ (âm dương đều được), ta đều có $F_{m-1}F_{n}-F_{n-1}F_{m}=(-1)^{n-1}F_{m-n}$.

Thật vậy, biến đổi $F_{m-1}F_{n}-F_{n-1}F_{m}=F_{m-1}(F_{n-1}+F_{n-2})-F_{n-1}F_{m}$

$=-(F_{m-2}F_{n-1}-F_{n-2}F_{m-1})$

$=.......=$

$=(-1)^{n-2}(F_{m-n+1}F_{2}-F_{1}F_{m-n+2})$

$=(-1)^{n-1}F_{m-n}$.

Áp dụng vào bài toán:

+Dựa vào tính chất Catalan ta suy ra một loạt các đẳng thức sau:

$F^2_{n}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}F_1$

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n-2}F_{n+2}=(-1)^{n-2}F_3$

.......

$F_{n-k+1}F_{n+k-1}-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{2k-1}$

Cộng dọc để rút ra $F^2_{n}-F_{n+k}F_{n-k}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{n-i}.F_{2i-1}$ (*).

+Áp dụng tính chất (*) với $k=n$ cũng cho ta:

$F^2_{k}-F_{2k}F_{0}=\sum_{i=1}^{k}(-1)^{k-i}.F_{2i-1}$ (**)
Từ (*) và (**), chú ý $F_0=0$, suy ra $F^2_{n}-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F^2_k$ (đpcm).

PS: Xin thề, xin hứa, xin đảm bảo đây sẽ là bài toán cuối cùng tôi giải trong năm 2016. Quyết tâm không đụng đến toán nữa cho tới khi thi xong tiếng Anh.  :(((((((((






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh