Chủ đề này có 1 trả lời

[chaugaihoangtuxubatu]

Cmr : Với mọi số n nguyên dương có :
$$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$

[baopbc]

Bài này không biết có uẩn khúc gì không nhỉ

Lời giải.$n=1;2$. Dễ thấy bất đẳng thức đúng.

$n\geq 3\Longrightarrow \frac {n+2}{\sqrt{n+1}}\geq 2$.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{(1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!)^n}{n^n(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}\geq 2^n\sqrt{n!}$

Áp dụng bất đẳng thức C-S ta được:

$\frac{(1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!)^n}{n^n.(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}\geq \frac{(n\sqrt[n]{1!(2!)^2(3!)^2...(n!)^2.(n+1)!})^n}{n^n.(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}=\frac {n^n.1!(2!)^2(3!)^2...(n!)^2.(n+1)!}{n^n.(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}=(n+1)!$

Mặt khác với $n=3$ thì $(n+1)!\geq 2^n\sqrt{n!}$ nên theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.