Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] Trận 13 - Hàm số - Cực trị - BĐT

mhs2013 mhs

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 30/11/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 13 có 20 toán thủ nên không áp dụng luật bị loại

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

4) Từ trận 7, điều lệ đã có sự thay đổi

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.



#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ . Tìm GTLN của biểu thức
$$A=\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}c+b^{5}c+1}.\sqrt{b^{5}a+c^{5}a+1}}$$

Toán thủ ra đề
19kvh97

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ . Tìm GTLN của biểu thức
$$A=\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}c+b^{5}c+1}.\sqrt{b^{5}a+c^{5}a+1}}$$

Toán thủ ra đề
19kvh97

Ta có:
$(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$
Áp dụng tương tự ta suy ra:
$A\leq \sum\frac{1}{\sqrt{ab(a+b)+1}.\sqrt{bc(b+c)+1}}$
$\Leftrightarrow A\leq \sum\frac{1}{\sqrt{ab(a+b)+abc}.\sqrt{bc(b+c)+abc}}$
$\Leftrightarrow A\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{a+b+c}\leq 1$
(Do $\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leq a+b+c$ )
Vậy GTLN của A là 1 khi $a=b=c=1$
________________________
*Lưu ý: Bài làm khá vắn tắt, cần chú thích rõ ràng hơn (VD: theo AM-GM)
Điểm bài làm $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-1}{2}\right\rfloor+3\times 10+10=65$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 13:03
Chấm điểm

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#4
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
Mở rộng: Bài toán tổng quát của bài toán trên có thể quy về bài toán sau:
Cho $a_i>0$ ($i=1,2,3,...,n$) với $a_1a_2...a_n=1$
Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{1}{a_{n}^k\left (a_1^{n+k(n-1)}+a_2^{n+k(n-1)}+..+a_{n-1}^{n+k(n-1)} \right )+1}$
Giả sử $a_1\geq a_2\geq .....\geq a_n$
Áp dụng chebyshev và AM-GM ta có:
$S=a_1^{n+k(n-1)}+a_2^{n+k(n-1)}+..+a_{n-1}^{n+k(n-1)}\geq \frac{1}{n-1}(a_1+a_2+..+a_{n-1})(\sum_{i=1}^{n-1} a_i^{(n-1)(k+1)})$
$S\geq (a_1+a_2+..+a_{n-1})(a_1a_2..a_{n-1})^{k+1}$
Áp dụng tương tự rồi áp dụng vào A ta có:
$A\leq \sum \frac{a_n}{a_1+a_2+..+a_n}=1$
Dấu bằng xảy ra khi $a_1=a_2=..=a_n=1$

_______________
Điểm mở rộng: $d_{mr}=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 12:55
Chấm điểm

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#5
carljohnson1997

carljohnson1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
theo B.C.S ta có $A\leq \sum \frac{1}{a^5c+b^5c+1}$
mà ta có bdt sau $2(a^5+b^5)\geq (a+b)(a^4+b^4)(*)$. Thật vậy
$(*)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\geq 0$ (đúng với mọi $a,b>0$)
dấu bằng có dc khi $a=b$
$\Rightarrow a^5+b^5\geq \frac{(a+b)2\sqrt{a^4b^4}}{2}=a^2b^2(a+b)$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^5c+b^5c+1}\leq \sum\frac{1}{ca^2b^2(a+b)+abc}= \sum\frac{c}{a+b+c}=1$
$\Rightarrow A\leq 1$
$A=1$ khi $a=b=c=1$
KL: $maxA=1$ khi $a=b=c=1$

________________________
Điểm bài làm $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 10+0= 43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 13:10
Chấm điểm

Thông báo khẩn. Nút LIKE hiện nay đang bị hỏng
Ai bấm vào sẽ bị đơ máy hoặc cháy case đột ngột
Không tin bấm thử mà xem
^.^

#6
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
Ta chứng minh:$$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b).(1)$$
Thật vậy bất đẳng thức tương đương với $(a-b)^{2}\geq 0$(Luôn đúng).Dấu ''='' xảy ra khi $a=b$.
Mà $$a^{2}+b^{2}\geq 2ab.(2)$$
Nhân từng vế của $(1)$ và $(2)$ và khai triển ta được:$$a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b).$$.Chứng minh tương tự ta sẽ có các bất đẳng thức tương tự.
Khi đó ta sẽ có :$$\sum \frac{1}{\sqrt{c(a^{5}+b^{5})+1}.\sqrt{a(b^{5}+c^{5})+1}}\leq$$
$$\sum \frac{1}{\sqrt{ca^{2}b^{2}(a+b)+abc}.\sqrt{ab^{2}c^{2}(b+c)}+abc}$$
$$= \sum \frac{1}{\sqrt{b}(a+b+c)}= \frac{1}{a+b+c}\left ( \sum \frac{1}{\sqrt{b}} \right )$$(Do $abc$=1)
$$= \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{a+b+c}\leq 1$$.
Bất đẳng thức này đúng vì ta luôn có:
$$a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$.
Dấu''='' xảy ra khi $a=b=c=1$.
Vậy $A_{max}=1\Leftrightarrow a=b=c=1$
_________________________
* Lưu ý: ký hiệu GTLN là $\max A$ chứ không phải $A_{\max}$ đâu em nhé!
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-26}{2}\right\rfloor+3\times 10+0=43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 13:19

~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#7
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ . Tìm GTLN của biểu thức
$$A=\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}c+b^{5}c+1}.\sqrt{b^{5}a+c^{5}a+1}}$$

Toán thủ ra đề
19kvh97

Lời giải :
Do abc=1 nên $A=\sum \sqrt{\frac{abc}{c(a^{5}+b^{5}+ab)}.\frac{abc}{a(b^{5}+c^{5}+bc)}} = \sum \sqrt{\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}.\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}}$ (1)
Đặt $x=\sqrt{\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}},y=\sqrt{\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}},z=\sqrt{\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}}$ ( x, y, z >0)
$(1)\Leftrightarrow A=xy+yz+zx\leq \sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2}+x^{2})} \Leftrightarrow A\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ( Bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki)
$\Leftrightarrow A\leq \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}$
Ta có $a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}) =(a+b)[(a-b)^{2}.(a^{2}+ab+b^{2})+a^{2}b^{2}]$
$\Rightarrow a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b)$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Suy ra $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \frac{ab}{a^{2}b^{2}(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$
Tương tự
$\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)}=\frac{a}{a+b+c}$
$\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq \frac{1}{ca(a+b+c)}=\frac{b}{a+b+c}$
Do đó $A\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\Leftrightarrow A\leq 1$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}abc=1 & & & & \\ a=b & & & & \\ b=c & & & & \\ c=a & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=c=1$
Vậy Max A=1 khi a=b=c=1
_____________________________________
Trình bày khá tốt
Điểm bài làm: $d=10$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-42}{2}\right\rfloor+3\times 10+10=45$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 13:33
Chấm điểm


#8
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Mở rộng :
Cho các số thực dương thay đổi a, b, c và số tự nhiên k thỏa mãn abc=1 và $k\geq 2$. Tìm Max P biết rằng $P=\sum \frac{a^{k-1}b^{k-1}}{a^{2k+1}+b^{2k+1}+a^{k-1}b^{k-1}}$
Chứng minh mở rộng :
Ta có $a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}+...-ab^{2k-1}+b^{2k}) =(a+b)[(a+b)^{2}(a^{2k-2}+...+b^{2k-2})+a^{k}b^{k}]\geq a^{k}b^{k}(a+b)$ (Do a,b >0)
$\Rightarrow a^{2k+1}+b^{2k+1}\geq a^{k}b^{k}(a+b)$
Suy ra $P\leq \sum \frac{a^{k-1}b^{k-1}}{a^{k}b^{k}(a+b)+a^{k}b^{k}} \Leftrightarrow P\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{c}{a+b+c} \Leftrightarrow P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}abc=1 & & & \\ a=b=c & & & \\ a,b,c>0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=c=1$
Vậy Max P=1 khi a=b=c=1
______________________________
Điểm mở rộng
$d_{mr}=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 07-12-2012 - 13:21
Chấm điểm


#9
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc!
Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau.

#10
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Bài này cách làm đa dạng là do biến hóa một bài bất đẳng thức

#11
BoFaKe

BoFaKe

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 613 Bài viết
Ặc,Đề dễ thế này mà chỉ có vài người làm, chắc mọi người bận quá đến nỗi không làm được rồi :sosad:
~~~~~~~~~~~~~~Tiếc gì mà không click vào nút like mọi ngươì nhỉ ^0^~~~~~~~~~~~~~

#12
carljohnson1997

carljohnson1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
Nhìn thì dễ nhưng cũng không hề dễ đâu ạ.
Thông báo khẩn. Nút LIKE hiện nay đang bị hỏng
Ai bấm vào sẽ bị đơ máy hoặc cháy case đột ngột
Không tin bấm thử mà xem
^.^

#13
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Đáp án chính thức của 19kvh97

Đề bài : Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$ . Tìm GTLN của biểu thức

$A=\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}c+b^{5}c+1}.\sqrt{b^{5}a+c^{5}a+1}}$

Bài giải

Ta có $a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}) =(a+b)\left [(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-ab)-a^{2}b^{2} \right ]$
Theo AM-GM ta có $a^{2}+b^{2}\geq2ab$ ĐTXR khi $a=b$
$\Rightarrow a^{5}+b^{5}\geq(a+b)a^{2}b^{2}$
$\Rightarrow a^{5}c+b^{5}c+1\geq (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{5}c+b^{5}c+1}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a+b+c}}$
cmtt ta có $ A\leq \frac{\sqrt{ac}+\sqrt{ba}+\sqrt{cb}}{a+b+c}$
Mà mà ta có$\sqrt{ac}+\sqrt{ba}+\sqrt{cb}\leq a+b+c$ ĐTXR khi $a=b=c$
$\Rightarrow A\leq 1$.
$A=1$ khi $\left\{\begin{matrix} a=b=c & & \\ abc=1& & \end{matrix}\right.$ hay $a=b=c=1$
Vậy $MaxA=1$ khi $a=b=c=1$

#14
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Đã hoàn tất chấm điểm trận này

Điểm cho toán thủ ra đề
$D_{rd}=4\times 1+3\times 15+ 2\times 2+30=83$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mhs2013, mhs

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh