Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 14: Bất Đẳng Thức - Cực trị

mo2013 mo

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 7/12/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 14 có 24 toán thủ tham gia nên trận này không áp dụng luật loại trực tiếp.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.



#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012

Giải như sau:
Giả sử $a\geq b\geq c$. Ta có:
$\ 2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}-\frac{b(a+c)}{b^2+2ac}-\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{2a^2+4bc-3a(b+c)}{a^2+2bc}=\frac{1}{3}\sum \frac{(a-2c)(a-b)+(a-2b)(a-c)}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum (\frac{a-2c}{a^2+2bc}-\frac{b-2c}{b^2+2ac})(i)=\frac{1}{3}\sum \frac{(a-b)^2(4ac+4bc-4c^2-ab)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}=\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{4}{3}\sum \frac{(c-a)(c-b)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}(ii)$
$=$\sum$\frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{4(a-c)^2(a-b)^2(b-c)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
Vậy Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$\sum \frac{(a-b)^2ab}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}\geq \frac{2(a-b)^2(b-c)^2(a-c)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$\Leftrightarrow (ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0(iii)$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $ab\geq (a-c)(b-c)$ ( thật vậy điều này tương đương với:$a+b\geq c$ đúng do $a\geq b\geq c$)
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $abc=0$


(i): Thiếu thừa số $a-b$.
(ii):Chỗ này phải ra $\dfrac{4}{3}.\sum \dfrac{(a-b)^2(b-c)(c-a)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}$.
(iii):Biến đổi sai chỗ tô đỏ.Phải là $(a-b)^2[ab(c^2+2ab)-2(b-c)^2(c-a)^2]+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(b^2+2ac)(c-a)^2 \ge 0$.
Giải thích+biến đổi rõ ràng tại sao khi $ab \ge (a-c)(b-c)$ thì $ab(c^2+2ab)-2(b-c)^2(a-c)^2 \ge 0$.
Cần chú ý trình bày bài làm cẩn thận+ gọn gàng hơn.
Điểm bài :8/10.

S = 25+3*8=49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:05
Ghi điểm

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#4
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012

Đi học cả ngày giờ mới có thời gian ngồi gõ T.T~
Ta có phân tích:
$$\frac{2}{3}-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}=\frac{(a-b)(a-2c)+(c-a)(2b-a)}{3(a^2+2bc)}$$
Tương tự và cộng lại, sau đó để ý:
$$\frac{1}{3}(a-b)\left(\frac{a-2c}{a^2+2bc}+\frac{2c-b}{b^2+2ac}\right)=\frac{1}{3}(a-b)^2\frac{4ac+4bc-ab-4c^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}$$
Ta có thể đưa bất đẳng thức về dạng tương đương là:
$$\sum (a-b)^2\frac{4ac+4bc-ab-4c^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{6(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left(\frac{4ac+4bc-ab-4c^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{6(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\right)\geq 0$$
Quy đồng và biến đổi thì ta có thể viết lại bất đẳng thức trên thành:
$$\sum (a-b)^2.\left[abc(4a+4b-c)+c^2(2a^2+2b^2-c^2)\right]\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2.S_c+(b-c)^2.S_a+(a-c)^2.S_b\geq 0$$
Với $S_a,S_b,S_c$ lần lượt là: $S_c=abc(4a+4b-c)+c^2(2a^2+2b^2-c^2)\\S_b=abc(4a+4c-b)+b^2(2a^2+2c^2-b^2)\\ S_a=abc(4c+4b-a)+a^2(2b^2+2c^2-a^2)$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$. Dễ dàng suy ra $S_c\geq S_b\geq S_a$. Ta sẽ chứng minh $S_c\geq S_b\geq 0$ và $a^2.S_b+b^2.S_a\geq 0$ để bất đẳng thức đúng the0 tiêu chuẩn 2 của SOS.
$\bullet$ Chứng minh $S_b\geq 0$
Thật vậy $S_b=abc(4a+4c-b)+b^2(2a^2+2c^2-b^2)\geq abc(a-b)+b^2(a^2-b^2)\geq 0$ (Do $a\geq b$)
$\bullet$ Chứng minh $a^2.S_b+b^2.S_a\geq 0$. Bất đẳng thức cuối này tương đương:
$$abc(4a^3+4a^2c-a^2b+4b^2c+4b^3-b^2c)+2a^2b^2(a^2+c^2-b^2)+2a^2b^2(b^2+c^2-a^2)\geq 0$$
$$\Leftrightarrow abc(4a^3+4a^2c-a^2b+4b^2c+4b^3-b^2c+2abc)\geq 0$$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $abc\geq 0\\ 4a^3+4a^2c-a^2b+4b^2c+4b^3-b^2c+2abc\geq a^3-a^2b+b^3-b^2c\geq 0$
Vậy bất đẳng thức đúng the0 tiêu chuẩn 2 của SOS
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị tương ứng $\square$


Phân tích SOS sai,phải ra là:
$\sum (a-b)^2[abc(15c-4a-4b)+4a^2b^2+2c^2(c^2-4ac-4bc+6b^2+6a^2)] \ge 0$.
Điểm:1/10.

S = 16+3=19

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:06

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#5
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012


Giải như sau:
Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$.
BĐT đã cho tương đương với:
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
Ta biến đổi:
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}=2-\sum \frac{a(b+c)}{a^2+2bc}$
$=\sum (\frac{2}{3}-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc})=\frac{1}{3}\sum \frac{2a^2+4bc-3ab-3ac}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{(a-2c)(a-b)+(a-2b)(a-c)}{a^2+2bc}=\frac{1}{3}\sum [(a-b)(\frac{a-2c}{a^2+2bc}-\frac{b-2c}{b^2+2ac})]$
$=\frac{1}{3}\sum [(a-b)^2\frac{(4ac+4bc-4c^2-ab)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{(4ac+4bc-4c^2-4ab)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{4(c-a)(b-c)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{4}{3} \frac{(c-a)(b-c)(a-b)[\sum ((a-b)(c^2+2ab))]}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$=\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{4(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
Vậy từ đây,ta có,BĐT cần chứng minh tương đương với
$\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}\geq \frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$\Leftrightarrow \sum ab(a-b)^2(c^2+2ab)\geq 2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2$$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]+ bc(b-c)^2(a^2+2bc)+ ca(b^2+2ac)(c-a)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2[ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2]\geq 0$
Vì $ab\geq (a-c)(b-c)$ nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được
$(c^2+2ab)-2(a-c)(b-c)\geq 0$
$\Leftrightarrow c^2+2(ab-(a-c)(b-c))\geq 0$
Bất đẳng thức này luôn đúng do $ab\geq (a-c)(b-c)$
Vậy,bài toán được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc trong ba số $a,b,c$ tồn tại một hoặc hai số bằng $0$.

Không được xài dấu tương đương chỗ tô đỏ ,mà phải giải thích do $bc(b-c)^2(a^2+2bc)+ ca(b^2+2ac)(c-a)^2 \ge 0$ nên ta chỉ cần chứng minh $(a-b)^2ab(c^2+2ab)-2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \ge 0$.
Bài làm trình bày tốt,gọn gàng.

Điểm:9/10
S = 15+9*3 = 42

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:08
Ghi điểm

Hình đã gửi


#6
LeHoangAnh1997

LeHoangAnh1997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012


Không mất tính tổng quát,giả sử $a\geq b\geq c$.
BĐT tương đương
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
Xét:
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}$
$=2-\sum \frac{a(b+c)}{a^2+2bc}$
$=\sum (\frac{2}{3}-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc})$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{2a^2+4bc-3ab-3ac}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum \frac{(a-2c)(a-b)+(a-2b)(a-c)}{a^2+2bc}$
$=\frac{1}{3}\sum [(a-b)(\frac{a-2c}{a^2+2bc}-\frac{b-2c}{b^2+2ac})]$
$=\frac{1}{3}\sum [(a-b)^2\frac{(4ac+4bc-4c^2-ab)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{(4ac+4bc-4c^2-4ab)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\frac{1}{3}\sum [\frac{3ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\frac{4(c-a)(b-c)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}]$
$=\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{4(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
Vậy ta cần chứng minh:
$\sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}\geq \frac{2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$\Leftrightarrow \sum ab(a-b)^2(c^2+2ab)\geq 2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2$$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]+ bc(b-c)^2(a^2+2bc)+ ca(b^2+2ac)(c-a)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow [ab(a-b)^2(c^2+2ab)-2(c-a)^2(b-c)^2(a-b)^2]\geq 0(i)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2[ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2]\geq 0$
Vì $ab\geq (a-c)(b-c)$ nên BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh được
$(c^2+2ab)-2(a-c)(b-c)\geq 0$
$\Leftrightarrow c^2+2(ab-(a-c)(b-c))\geq 0(ii)$
Luôn đúng.
Ta có đpcm. Dấu $"="$ xảy ra chỉ khi $a=b=c$ hoặc $abc=0$

(i):Không được xài dấu tương đương ở đây.Nên ghi là do $ca(b^2+2ca)(c-a)^2+bc(a^2+2bc)(b-c)^2 \ge 0$ nên ta chỉ cần chứng minh $ab(c^2+2ab)(a-b)^2-2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \ge 0$.
(ii):Phải giải thích tại sao ta lại có 1 BĐT luôn đúng.
Bài làm này khá giống với bài của thí sinh doxuantung nên sẽ xét sau.


Điểm tạm thời:8/10

S = 14 + 3*8 = 38

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:09
Ghi điểm


#7
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012


Chứng minh

Xét hiệu
$2-\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}$
$=\dfrac{1}{3} \sum_{sym} \dfrac{2a^2+4bc-3a(b+c)}{a^2+2bc}$
$=\dfrac{1}{3} \sum_{sym} \dfrac{(a-2c)(a-b)+(a-2b)(a-c)}{a^2+2bc}$
$=\dfrac{1}{3} \sum_{sym} (\dfrac{a-2c}{a^2+2bc}-\dfrac{b-2c}{b^2+2ac})(i)$
$= \sum_{sym} \dfrac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}+\dfrac{4}{3} \sum_{sym} \dfrac{(c-a)(c-b)(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}(ii)$
$=\sum_{sym} \dfrac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}-\dfrac{4(c-a)^2(c-b)^2(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$

Như vậy

$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$
$\Leftrightarrow \sum_{sym} \dfrac{ab(a-b)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)} \ge \dfrac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}(1)$
Giả sử $a \ge b \ge c$
Khi đó
$(1) \Leftrightarrow (a-b)^2[ab(c^2+ab)-2(a-c)^2(b-c)^2]+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2 \ge 0$

Ta cần chứng minh
$ab(c^2+ab) \ge 2(a-c)^2(b-c)^2(2)(iii)$

vì $ab \ge (a-c)(b-c)$ (do $c \ge 0;a-c \ge 0;b-c \ge 0$)
nên $ab(c^2+2ab) \ge 2(ab)^2 \ge 2(a-c)^2(b-c)^2$

nên bất đẳng thức (2) là đúng

Nên bất đẳng thức ban đầu được chứng minh
Dấu = xảy ra khi chỉ khi $a=b=c >0$

(i):Thiếu mất thừa số $a-b$.
(ii):Phải biến đổi ra là $\dfrac{4}{3}\sum_{cyc}\dfrac{(a-b)^2(b-c)(c-a)}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)}$
(iii):Phải giải thích tại sao lại cần chứng minh $ab(c^2+2ab) \ge 2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$,là do $bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(b^2+2ca)(c-a)^2 \ge 0$.Mà BĐT (2) là BĐT nào ?(chưa đánh số).
Tạm thời chấp nhận ký hiệu $\sum_{sym}$,thực tế nên ký hiệu $\sum_{cyc}$ hay $\sum$ thì tốt hơn.
Bài làm này lỗi sai khá giống với Joker9999,đặc biệt là phần biến đổi BĐT.Bài làm này sẽ được xem xét sau.
Điểm tạm thời: 6.5/10.

S = 14+6.5*3 = 33.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:13
Ghi chép

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#8
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Đề của tran thanh binh dv class

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
$$\frac{a(b+c)}{a^2+2bc}+\frac{b(c+a)}{b^2+2ca}+\frac{c(a+b)}{c^2+2ab}\leq 2+\frac{2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)}$$

Thời gian kết thúc trận đấu này là 0h45' ngày 10/12/2012

Lâu ngày không vào MO, giờ làm liều thôi !

Ta có BĐT tương đương với:
$$\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+2bc} \leq 2+2\prod \dfrac{(a-b)^2}{c^2+2ab}$$
$$\Leftrightarrow \sum a (b+c)(b^2+2ca)(c^2+2ab) \leq 2 \prod (a^2+2bc) +2 \prod (a-b)^2$$
$$\Leftrightarrow 2p^2q^2+15pqr-4q^3-4rp^3-27r^2 \leq 2 (p^2-2q) q^2$$

$$\Leftrightarrow r (4p^3-15 p q+27r) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow 4p^3-15 p q+27r \geq 0$$

Ta sẽ chứng minh lại BĐT Schur tương đương với $p^3+9r \geq 4 p q$
(Chứng minh lại mới khổ chứ !!!)
Do $a+b+c=p$ mà ta luôn có: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ với mọi $a,b,c>0$
Thật vậy, ta chứng minh lại : (Theo lời giải WhjteShadow - Trước cậu nói với tớ, giờ quên rồi)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ đều là 3 số âm thì $VT<0<VP$
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 2 số âm thì không ấm tính tổng quát giả sử $a+b-c<0$ và $b+c-a<0$. Khi đó $2b<0$ (Vô lý)
Nếu trong 3 số $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ có 1 số âm thì $VT \leq 0<VP$
Nếu trong 3 số không có số âm nào, ta có:

$(a+b-c)(b+c-a) = b^2-(a-c)^2 \leq b^2$
$(b+c-a)(c+a-b) = c^2-(b-a)^2 \leq c^2$
$(c+a-b)(a+b-c) = a^2-(c-b)^2 \leq a^2$
Suy ra: $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2 \leq a^2b^2c^2$
Hay $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ (vì $a, b, c >0$)
Xong !

Trở lại, ta thấy $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc$ nên $(p-2a)(p-2b)(p-2c) \leq abc$
Tương đương với $p^3+9r \geq 4 p q$
Vậy ta chứng minh được bổ đề rồi (Chứng minh Schur theo cách thầy Thắng, he he)

Trở lại với bài toán.
Ta có $4p^3-15 p q+27r=4(p^3+9r-4pq)+(pq-9r) \geq 0$ (Theo BĐT AM-GM + Schur)
Từ đó ta có đpcm.

Với $p=a+b+c$ và $q=ab+bc+ca$ và $r=abc$
Khi đó $pq-9r=(a+b+c)(ab+bc+ca)-9r \geq 0(i)$

__________________
P/s: Đúng sự thật !

Ở đâu mà phang ra kết quả Đại Số $p,q,r$ chỉ trong 1 bước thế này ? Cách làm này nếu xét ra sẽ khá dài và phức tạp biến đổi.
(i):Cần giải thích tại sao lại ra được BĐT luôn đúng,và khi áp dụng BĐT AM-GM ở bước trên,phải nói rõ là xài cho các số không âm nào.
Điểm:6/10

S = 14 + 6*3 = 32

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 17-12-2012 - 21:15
Ghi điểm

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#9
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

#10
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
:luoi: Lắm bạn chép Sáng tạo Bất đẳng thức quá. Lần này bận mải quá quên nộp đề :">
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#11
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Bài này làm 1 lần trong Sáng tạo BDT h vẫn nhớ. Hic mà sao BTC lại lấy đề trong đó vậy? :D

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#12
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
Đề này minh gửi lâu rồi :mellow: :mellow: Có 1 đề bdt mới gửi khó hơn nhưng btc lại chọn đề này!!!!!!!!!!

--------------------------------------------------------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 11-12-2012 - 21:14

Hình đã gửi


#13
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết

$\Leftrightarrow (ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0$
Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do $ab\geq (a-c)(b-c)$ ( thật vậy điều này tương đương với:$a+b\geq c$ đúng do $a\geq b\geq c$)
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc $abc=0$


Chỗ này sai

To mn: Tớ không có sách Sáng tạo bất đẳng thức

Bài làm của Doxuantung97 và LeHoangAnh1997 giống nhau 90%
Nghi ngờ quá

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#14
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
Mọi người còn sai một cái ngớ ngẩn :luoi:
Đề cho: $a;b;c >0$
Sao lại dấu = có $abc=0$ :icon6:

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#15
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Chỗ này sai

To mn: Tớ không có sách Sáng tạo bất đẳng thức

Bài làm của Doxuantung97 và LeHoangAnh1997 giống nhau 90%
Nghi ngờ quá

Cùng trong Sáng Tạo BĐT mà ra thôi bạn=)).Nhân tiện mình cũng mong BTC quản lí chặt các đề bài,tránh tình trạng như lần này!

Hình đã gửi


#16
LeHoangAnh1997

LeHoangAnh1997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
Bạn Doxuantung97 học Sư Phạm à! Cậu biết Vương Minh lớp Tin không? Mình quen cậu ấy đấy và cũng hay mượn vở cậu đấy! Sr vì bài MO lần trước lấy trong vở học của các cậu!=))

#17
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Chỗ này sai


sai ở đâu cậu nhỉ?

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#18
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

sai ở đâu cậu nhỉ?


$\Leftrightarrow (ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0$


Phải là $(a-b)^2(ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0$

Hình đã gửi


#19
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Phải là $(a-b)^2(ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0$

Á ,á. Chỗ này mình viết thiếu:(. Không cẩn thận j cả. Hic.

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#20
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Phải là $(a-b)^2(ab(c^2+2ab)-2(a-c)^2(b-c)^2)+bc(a^2+2bc)(b-c)^2+ca(c^2+2ab)(c-a)^2\geq 0$

À không khoan đã. Mình không sai. Bạn xem lại nhé:D

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo2013, mo

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh