Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho dãy $x_n$ được xác định như sau:
$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên,

[Rias Gremory]

Cho dãy $x_n$ được xác định như sau:
$x_1=1964$;$x_2=96$;$x_{n+2}=30x_{n+1}^2-75x_n.x_{n+1}-1944x_n$,$\forall n\ge1$.
Chứng minh rằng không có số hạng nào của dãy có thể viết dưới dạng tổng các lũy thừa bậc bảy của 3 số nguyên,

Nếu $a$ là số nguyên, thì theo Định lí Fermat nhỏ , ta có 

$a^{29}\equiv a(mod29)$

Ta có : $a^{29}-a=a(a^{28}-1)=a(a^{14}-1)(a^{14}+1)=a(a^7-1)(a^7+1)(a^{14}+1)$

$a^{14}+1=(a^7-12)(a^7+12)+145$

Vì $145=5.29$ nên suy ra : $a^7\equiv m(mod29),m\in \left \{ 0,\pm 1,\pm 2 \right \}$

Do đó nếu $a,b,c$ là các số nguyên thì $a^7+b^7+c^7\equiv n(mod29),n\in \left \{ 0,\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm11,\pm12,\pm13,\pm14 \right \}$

Xét dãy số $\left \{ x_n \right \}$ và thực hiện phép chia $x_n$ cho $29$ ta có : 

$x_1\equiv -8(mod29),x_2\equiv 9(mod29),x_3\equiv 8(mod29),x_4\equiv -9(mod29),x_5\equiv -8(mod29),x_6\equiv 9(mod29),x_7\equiv 8(mod29),x_8\equiv -9(mod29),...$

Gọi $r_n\equiv x_n(mod29)$ thì $\left \{ r_n \right \}$ có dạng là : $-8,9,8,-9,-8,9,8,-9,...$ , là dãy tuần hoàn chu kì $4$

Nếu gọi $A$ là tập hợp $A=\left \{ 0,\pm 1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,\pm10,\pm11,\pm12,\pm13,\pm14 \right \}$ thì $-8,9,8,-9$ đều không thuộc $A$

Kết hợp với lập luận trên suy ra không có số hạng nào của dãy là tổng các lũy thừa bậc $7$ của $3$ số nguyên (ĐPCM)