Bài làm của thanhluong:
Bổ đề : Nếu hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $R$ thì:
$f(x)=f(y) \Rightarrow x=y$, $\forall x$, $y \in R$.
Chứng minh:
Giả sử $f(x)=f(y)$ và $x \neq y$.
Trường hợp $x > y$, $f(x)$ đồng biến trên $R$ nên $f(x) > f(y)$.
Tương tự với $x < y$, ta được $f(x) < f(y)$.
Cả hai đều cho kết quả mâu thuẫn với giả thiết là $f(x)=f(y)$. Nên $x=y$. Bổ đề được chứng minh.
Quay trở lại bài toán. Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\begin{cases}x-2\sqrt{y^2+8}=-7 (1) \\ y-2\sqrt{x^2+8}=-7 (2) \end{cases}$
Trừ $(1)$ cho $(2)$ vế theo vế, ta được:
$x – 2\sqrt{y^2+8} – y + 2\sqrt{x^2+8}=0$
$\Leftrightarrow x + 2\sqrt{x^2+8} = y + 2\sqrt{y^2+8}$.
Xét hàm số $f(x) = x+2\sqrt{x^2+8}$, lấy hai giá trị bất kì $x_1$, $x_2 \in R$ và $x_1 < x_2$, ta có:
$f(x_1) – f(x_2) = x _1 +2\sqrt{x_1^2+8} – x_2 – 2\sqrt{x_2^2+8} = (x_1 – x_2) +2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8} <0$
Chứng minh này chưa chặt! $(x_1-x_2)<0$ nhưng có thể $2(\sqrt{x_1^2+8}-\sqrt{x_2^2+8})>0$ (Tham khảo đáp án)$\Rightarrow f(x)=x+2\sqrt{x^2+8}$ đồng biến trên $R$, áp dụng bổ đề 1, ta có $f(x)=f(y)$ nên $x=y$.
Thay $x=y$ vào $(1)$, ta được:
$x – 2\sqrt{x^2+8} = -7$
$\Leftrightarrow x + 7 = 2\sqrt{x^2+8} \Rightarrow (x+7)^2 = 4(x^2+8)$ (với điều kiện $x \geq -7$).
$\Leftrightarrow x^2+14x+49 = 4x^2+32$
$\Leftrightarrow 3x^2 -14x -17=0$
$\Leftrightarrow (x+1)(3x-17)=0 \Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=\frac{17}{3}$ (đều thoả mãn $x \geq -7$)
Với $x=-1 \Rightarrow y = x = -1$.
Với $x=\frac{17}{3} \Rightarrow y = x =\frac{17}{3}$.
Vậy: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm $(x, y) = (-1, -1)$ và $(x, y)=\left(\frac{17}{3}, \frac{17}{3} \right)$.
__________________________________
Điểm bài làm: $d=8$$S=\left\lfloor\dfrac{52-2}{2}\right\rfloor+3\times 8+0+0=49$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-12-2012 - 13:50
Chấm điểm!