Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 26-12-2012 - 10:44

Chứng minh rằng $\tan^2 \alpha, \tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), \tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ là nghiệm của phương trình sau:
$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$

______________________________
P/s: Cái này áp dụng rất nhiều.

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : vietpro213tb@gmail.com


SÐT : 0965734893


#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1531 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 25-08-2015 - 21:30

Cái này nói chung là không có gì đáng nói cả

 

Ta có công thức: $ \tan 3x = \frac{3  \tan x - tan^{3} x}{ 1- 3 \tan^{2} x}$

 

Bình phương lên rồi  triệt tiêu mẫu số, ta có ngay điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-08-2015 - 19:11

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 LzuTao

LzuTao

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Vũ Trụ}$
  • Sở thích:$\textrm{Giúp Người Là Niềm Vui}$

Đã gửi 26-08-2015 - 00:45

Ta có: $\tan^{2}x+\tan^{2}\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan^{2}\left (x+\frac{\pi }{3} \right )=\left (\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) \right )^2-2\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right ) \right ]\qquad \color{Red}{(1)}$

Ta sẽ chứng minh $\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3}  \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3}  \right )=3\tan3x $ và $\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right )  \right ]=-3$

Đặt $\tan3x=\tan3y\Rightarrow x=y+k\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\left \{ y, y+\frac{\pi}{3}, y-\frac{\pi}{3} \right \}$

Ta có: $$\tan3y=\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}\\\Leftrightarrow \tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$$

Áp dụng Định Lý Viete vào phương trình bậc 3 trên với ẩn là $\tan x$, ta được:

$$\sum \tan x=3\tan3y=3\tan 3x,\qquad\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right )  \right ]=-3$$

Thế vào $(1)$ ta được đpcm.

Từ $\tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$ theo Viete:

$\sum \tan x=3\tan3x,\quad\sum\tan x\tan\left(x-\frac\pi3\right)=-3,\quad \prod\tan x=-\tan 3x$

 

Ta đã biết ba số $a=\tan^2 \alpha, b=\tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), c=\tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ được gọi là nghiệm của phương trình khi nó thoả định lý Viete: $\left\{\begin{matrix}a+b+c=9{\tan}^{2}3\alpha+6\\ ab+bc+ca=6\tan^23\alpha+9\\ abc=\tan^23\alpha\end{matrix}\right.$

*Ý 1 đã được chứng minh dựa trên trích dẫn

*Ý 2: $ab+bc+ca=\left (\sum\tan \alpha\tan\left(\alpha-\frac\pi3\right)  \right )^2-2\cdot\prod\tan x\cdot\sum\tan x=9+6\tan^23\alpha$

*Ý 3: $abc=\left (\prod\tan \alpha  \right )^2=\tan^23\alpha$

 

Vậy ta có dpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 26-08-2015 - 14:16





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh