$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$
#1
Đã gửi 26-12-2012 - 10:44
$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$
______________________________
P/s: Cái này áp dụng rất nhiều.
- WhjteShadow, haisupham, thanhdotk14 và 3 người khác yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#2
Đã gửi 25-08-2015 - 21:30
Cái này nói chung là không có gì đáng nói cả
Ta có công thức: $ \tan 3x = \frac{3 \tan x - tan^{3} x}{ 1- 3 \tan^{2} x}$
Bình phương lên rồi triệt tiêu mẫu số, ta có ngay điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-08-2015 - 19:11
#3
Đã gửi 26-08-2015 - 00:45
Ta có: $\tan^{2}x+\tan^{2}\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan^{2}\left (x+\frac{\pi }{3} \right )=\left (\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) \right )^2-2\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right ) \right ]\qquad \color{Red}{(1)}$
Ta sẽ chứng minh $\tan x+\tan\left (x-\frac{\pi }{3} \right )+\tan\left (x+\frac{\pi }{3} \right )=3\tan3x $ và $\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right ) \right ]=-3$
Đặt $\tan3x=\tan3y\Rightarrow x=y+k\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\left \{ y, y+\frac{\pi}{3}, y-\frac{\pi}{3} \right \}$
Ta có: $$\tan3y=\tan3x=\frac{3\tan x-\tan^3x}{1-3\tan^2x}\\\Leftrightarrow \tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$$
Áp dụng Định Lý Viete vào phương trình bậc 3 trên với ẩn là $\tan x$, ta được:
$$\sum \tan x=3\tan3y=3\tan 3x,\qquad\sum \left [\tan x\tan\left (x-\frac{\pi }{3}\right ) \right ]=-3$$
Thế vào $(1)$ ta được đpcm.
Từ $\tan^3x-3\tan3y\tan^2x-3\tan x+\tan3y=0$ theo Viete:
$\sum \tan x=3\tan3x,\quad\sum\tan x\tan\left(x-\frac\pi3\right)=-3,\quad \prod\tan x=-\tan 3x$
Ta đã biết ba số $a=\tan^2 \alpha, b=\tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), c=\tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ được gọi là nghiệm của phương trình khi nó thoả định lý Viete: $\left\{\begin{matrix}a+b+c=9{\tan}^{2}3\alpha+6\\ ab+bc+ca=6\tan^23\alpha+9\\ abc=\tan^23\alpha\end{matrix}\right.$
*Ý 1 đã được chứng minh dựa trên trích dẫn
*Ý 2: $ab+bc+ca=\left (\sum\tan \alpha\tan\left(\alpha-\frac\pi3\right) \right )^2-2\cdot\prod\tan x\cdot\sum\tan x=9+6\tan^23\alpha$
*Ý 3: $abc=\left (\prod\tan \alpha \right )^2=\tan^23\alpha$
Vậy ta có dpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 26-08-2015 - 14:16
- Bonjour yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh